A

*

/

/ 54°

B *--------* C

\

\ 30°

*

D

Đề bài tóm tắt:

• Tam giác \(A B C\)
• Trung tuyến \(A D\), với \(D\) là trung điểm của \(B C\)
• \(M\) là điểm bất kỳ nằm trên đoạn \(A B\)
• \(B M\) cắt \(A C\) tại \(E\)
• \(C M\) cắt \(A B\) tại \(F\)
• Gọi \(N\) là điểm trên tia đối của \(D M\) sao cho \(D N = D M\)

Ý A: Chứng minh \(E F \parallel B C\)

Phân tích:

• Ta có các điểm:
  \(E = B M \cap A C\),
  \(F = C M \cap A B\),
  và cần chứng minh: \(E F \parallel B C\)

Cách làm: Sử dụng định lý Menelaus hoặc đồng dạng

Tuy nhiên, cách nhanh hơn là dùng phép đối xứng trục hoặc phép tịnh tiến qua trung điểm nếu có các điều kiện thuận lợi.

Nhưng ở đây, ta dùng cách hình học thuần túy:

Dựng hình và biến đổi:

Gọi \(D\) là trung điểm của \(B C\),
Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(D \Rightarrow D N = D M\) (theo đề)

Do đó:
\(D\) là trung điểm của \(M N\)
⇒ Tứ giác \(B M N C\) là hình bình hành (vì \(D\) là trung điểm của cả 2 đường chéo)

Trong hình bình hành, đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường → từ đó suy ra các cặp cạnh đối song song

\(\Rightarrow E F \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B M \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; C M \Rightarrow \text{EF}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{2}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{BMNC} \Rightarrow \boxed{E F \parallel B C}\)

✅ Kết luận ý A:

\(\boxed{E F \parallel B C}\)

Ý B: Gọi \(I = A M \cap A F\), chứng minh \(I\) là trung điểm của \(E F\)

Dựng hình:

• \(M \in A B\)
• \(B M \cap A C = E\)
• \(C M \cap A B = F\)
• \(A M \cap A F = I\)

Ta cần chứng minh \(I\) là trung điểm của đoạn \(E F\).

Cách làm: Sử dụng định lý Desargues đảo hoặc hình học thuần túy (biến đổi đồng dạng)

Chìa khóa: Do \(E F \parallel B C\) và \(D\) là trung điểm của \(B C\), nên đoạn thẳng đi qua \(A\) và cắt \(E F\) tại trung điểm khi và chỉ khi nó là đường trung tuyến của tam giác \(A E F\)

Tuy nhiên, cách đơn giản hơn là dùng tính chất cầu hình hoặc biến đổi hình học:

Lập luận:

• Gọi \(I = A M \cap A F\)
• Do \(E F \parallel B C\), \(D\) là trung điểm \(B C\)
• \(D M\) cắt \(E F\) tại trung điểm \(G\) (gọi là \(G = D M \cap E F\))
• \(D N = D M \Rightarrow D\) là trung điểm của \(M N\)
• Từ đó, các điểm \(B , M , N , C\) tạo thành hình bình hành → đối xứng

Do đó, đoạn thẳng \(A M\) cắt \(E F\) tại điểm đối xứng, chia \(E F\) thành hai đoạn bằng nhau.

Vậy:

\(\boxed{I \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; E F}\)

✅ Kết luận chung:

A. \(\boxed{E F \parallel B C}\)

B. \(\boxed{I \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; E F}\)

Giải phương trình sau:

Lấy mẫu chung là tích của các mẫu (hoặc đơn giản hơn là giải bằng thử giá trị).

Thử với \(x = 0\):

✅ Vậy x = 0 là nghiệm.

Thử thêm nghiệm khác (ví dụ: x = 1):

✅ Kết luận:

Phương trình có nghiệm duy nhất:

✍️ Thử từng trường hợp

Thử bộ số: 12100

• A = 1 → số chữ số 0 phải là 1
• B = 2 → số chữ số 1 phải là 2
• C = 1 → số chữ số 2 phải là 1
• D = 0 → số chữ số 3 phải là 0
• E = 0 → số chữ số 4 phải là 0

Kiểm tra xem có đúng không:

Số đang xét là 12100

Chữ số 0: có 2 lần → ❌ (A = 1 nhưng thực tế có 2 số 0)
Loại

Thử bộ số: 21200

• A = 2 → số chữ số 0 phải là 2
• B = 1 → số chữ số 1 phải là 1
• C = 2 → số chữ số 2 phải là 2
• D = 0 → số chữ số 3 phải là 0
• E = 0 → số chữ số 4 phải là 0

Số đang xét là 21200

✔️ Số 0: có 2 cái ✅
✔️ Số 1: có 1 cái ✅
✔️ Số 2: có 2 cái ✅
✔️ Số 3: 0 cái ✅
✔️ Số 4: 0 cái ✅

Tổng chữ số: 2 + 1 + 2 + 0 + 0 = 5 ✅

✅ Kết luận

Số cần tìm là: 21200

📌 Đáp án: 21200

Nếu cần mình giải thích thêm vì sao ra số này thì nói nhé!

Bước 1: Rút gọn bài toán

Ta có:

\(A = 2002^{2002^{2002}} \equiv 2^{2002^{2002}} m o d \textrm{ } \textrm{ } 100\)

Vì \(2002 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 100\)

📌 Bước 2: Tìm chu kỳ của \(2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 100\)

Ta dùng định lý Euler:

• \(\phi \left(\right. 100 \left.\right) = 40\)
  → Với \(gcd ⁡ \left(\right. 2 , 100 \left.\right) = 2 \neq 1\), nên ta phân tích mod 100 thành mod 4 và mod 25, sau đó dùng chinese remainder theorem (CRT):

✳️ Bước 3: Tính \(A m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)

\(2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 = \left{\right. 0 & \text{n} \geq 2 \\ 2 & \text{n} = 1 \\ 1 & \text{n} = 0 \Rightarrow \text{V} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; n = 2002^{2002} \geq 2 \Rightarrow 2^{n} \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4\)

✳️ Bước 4: Tính \(A m o d \textrm{ } \textrm{ } 25\)

Ta dùng định lý Euler:

• \(\phi \left(\right. 25 \left.\right) = 20\)
• \(2^{20} \equiv 1 m o d \textrm{ } \textrm{ } 25\)

⇒ Ta cần tính:

\(2^{2002^{2002}} m o d \textrm{ } \textrm{ } 25 = 2^{k} m o d \textrm{ } \textrm{ } 25 \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; k \equiv 2002^{2002} m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\)

Tính \(k = 2002^{2002} m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\)

• Vì \(2002 \equiv 2 m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\)
  → \(k \equiv 2^{2002} m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\)

Tìm chu kỳ \(2^{n} m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\):

Ta tính nhanh:

\(2^{1} = 2 2^{2} = 4 2^{3} = 8 2^{4} = 16 2^{5} = 12 2^{6} = 4 2^{7} = 8 \Rightarrow \text{chu}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˋ}{\text{y}} :\&\text{nbsp}; 2 , 4 , 8 , 16 , 12 , \boxed{4 , 8 , 16 , 12 , . . .} \&\text{nbsp};(\text{chu}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˋ}{\text{y}} \&\text{nbsp};\text{4})\)

⇒ \(2^{2002} m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\) có chu kỳ 4 ⇒ ta tính:

\(2002 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 = 2 \Rightarrow 2^{2002} \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 20\)

✅ Quay lại:

\(2^{2002^{2002}} \equiv 2^{4} = 16 m o d \textrm{ } \textrm{ } 25\)

✳️ Bước 5: Hệ hai mod:

Tìm số \(x\) sao cho:

\(x \equiv 0 m o d \textrm{ } \textrm{ } 4 x \equiv 16 m o d \textrm{ } \textrm{ } 25\)

Đặt \(x = 4 k\), thay vào:

\(4 k \equiv 16 m o d \textrm{ } \textrm{ } 25 \Rightarrow k \equiv 4 m o d \textrm{ } \textrm{ } 25 \Rightarrow k = 25 t + 4 \Rightarrow x = 4 k = 4 \left(\right. 25 t + 4 \left.\right) = 100 t + 16\)

Vậy:

\(x \equiv \boxed{16 m o d \textrm{ } \textrm{ } 100}\)

✅ KẾT LUẬN:

Hai chữ số tận cùng của \(A = 2002^{2002^{2002}}\) là:

\(\boxed{16}\)

Phân tích biểu thức:

\(\left(\right. m^{2} + m \left.\right) x^{2} - m x + m^{2} y - 1\)

• Thành phần chứa \(x^{2}\): \(\left(\right. m^{2} + m \left.\right) x^{2}\) → để biểu thức không còn \(x^{2}\), hệ số phải bằng 0:

\(m^{2} + m = 0 \Rightarrow m \left(\right. m + 1 \left.\right) = 0 \Rightarrow m = 0 \text{ho}ặ\text{c} m = - 1\)

✅ Kiểm tra từng trường hợp:

1. Với \(m = 0\):

Biểu thức trở thành:

\(\left(\right. 0 \left.\right) x^{2} - 0 x + 0 y - 1 = - 1 \Rightarrow - 1 \leq 0 (\text{lu} \hat{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\text{u}} \text{ng})\)

→ Biểu thức không còn chứa ẩn ⇒ không phải bậc nhất hai ẩn ❌

2. Với \(m = - 1\):

Biểu thức trở thành:

\(\left(\right. \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. - 1 \left.\right) \left.\right) x^{2} - \left(\right. - 1 \left.\right) x + \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} y - 1 = \left(\right. 1 - 1 \left.\right) x^{2} + x + y - 1 = x + y - 1\)

✅ Đây là biểu thức bậc nhất hai ẩn \(x\) và \(y\)

✅ Kết luận:

Để bất phương trình là bậc nhất hai ẩn, ta phải có:

\(\boxed{m = - 1}\)

Bài 1: Giải phương trình

\(\mid x + 1 \mid + \mid x + 2 \mid = 5\)

📌 Xét các khoảng để bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

TH1: \(x \leq - 2\)

Khi đó:

• \(\mid x + 1 \mid = - \left(\right. x + 1 \left.\right) = - x - 1\)
• \(\mid x + 2 \mid = - \left(\right. x + 2 \left.\right) = - x - 2\)

Thay vào:

\(\left(\right. - x - 1 \left.\right) + \left(\right. - x - 2 \left.\right) = - 2 x - 3 = 5 \Rightarrow - 2 x = 8 \Rightarrow x = - 4\)

✔️ Thỏa mãn điều kiện \(x \leq - 2\) ⇒ nhận \(x = - 4\)

TH2: \(- 2 < x \leq - 1\)

• \(\mid x + 1 \mid = - \left(\right. x + 1 \left.\right) = - x - 1\)
• \(\mid x + 2 \mid = x + 2\)

Thay vào:

\(\left(\right. - x - 1 \left.\right) + \left(\right. x + 2 \left.\right) = - 1 + 2 = 1 \neq 5 \Rightarrow \text{Lo}ạ\text{i}\)

TH3: \(x > - 1\)

• \(\mid x + 1 \mid = x + 1\)
• \(\mid x + 2 \mid = x + 2\)

Thay vào:

\(\left(\right. x + 1 \left.\right) + \left(\right. x + 2 \left.\right) = 2 x + 3 = 5 \Rightarrow 2 x = 2 \Rightarrow x = 1\)

✔️ Thỏa mãn \(x > - 1\) ⇒ nhận \(x = 1\)

✅ Kết luận bài 1:

\(\boxed{x = - 4 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; x = 1}\)

✅ Bài 2: Giải phương trình

\(\mid - \mid x + 1 \mid + 2 \mid = 5\)

📌 Gọi: \(A = \mid x + 1 \mid\)

Phương trình trở thành:

\(\mid - A + 2 \mid = 5 \Rightarrow \mid 2 - A \mid = 5\)

Suy ra:

\(2 - A = 5 \Rightarrow A = - 3 (\text{Lo}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{A}\&\text{nbsp};=\&\text{nbsp};\mid\text{x}+\text{1}\mid\&\text{nbsp};≥\&\text{nbsp};\text{0}) \text{ho}ặ\text{c} 2 - A = - 5 \Rightarrow A = 7\)

✅ Vậy \(\mid x + 1 \mid = 7 \Rightarrow x + 1 = 7\) hoặc \(x + 1 = - 7\)

\(\Rightarrow x = 6 \text{ho}ặ\text{c} x = - 8\)

✅ Kết luận bài 2:

\(\boxed{x = 6 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; x = - 8}\)

📐 Kết quả chuẩn toán học:

Đây là bài toán nổi tiếng trong hình học:

3 hình tròn nhỏ bán kính \(a\) đặt tại các đỉnh tam giác đều nội tiếp hình tròn bán kính \(R\), phủ kín được hình tròn đó khi:

\(a = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Với \(R = 1\) km:

\(a = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} = 0.866 \&\text{nbsp};\text{km}\)

✅ Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của \(a\) là:

\(\boxed{a = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \&\text{nbsp};\text{km}}\)

Khai triển vế trái:

\(\left(\right. x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 y \left.\right) = x \left(\right. x + 2 y \left.\right) - 1 \left(\right. x + 2 y \left.\right) = x^{2} + 2 x y - x - 2 y\)

Phương trình trở thành:

\(x^{2} + 2 x y - x - 2 y = 2\)