Nếu bạn không xem được hình thì bạn vào trang cá nhân của mình xem nhé.

Hình vẽ đây nhé.

Xét đường tròn (O), ta thấy \(\hat{BAM}=\hat{CAM}\) và 2 góc này lần lượt là 2 góc nội tiếp chắn cung BM và CM nên \(\overgroup{BM}=\overgroup{CM}\) không chứa A của (O). Mà P thuộc (O) nên \(\hat{BPM}=\hat{CPM}\) , suy ra PM là tia phân giác của góc \(\hat{BPC}\). (1)

Mặt khác, vẽ đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC thì đường tròn này tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại chính các điểm D, E, F. Xét đường tròn (I), có 2 tiếp tuyến tại D và E cắt nhau tại C nên \(CD=CE\). Tương tự, ta có \(BD=BF\), suy ra \(\frac{DB}{DC}=\frac{BF}{CE}\) (2)

Trong đường tròn (AFE) có \(\hat{AFP}=\hat{AEP}\) (vì cùng là góc nội tiếp chắn cung AP). Từ đó suy ra \(\hat{PFB}=\hat{PEC}\) (vì lần lượt cùng bù với 2 góc trên) (3). Trong đường tròn (O), có \(\hat{PBA}=\hat{PCA}\) (vì cùng là góc nội tiếp chắn cung AP) hay \(\hat{PBF}=\hat{PCE}\) (4).

Từ (3) và (4), suy ra tam giác PFB và PEC đồng dạng, suy ra \(\frac{BF}{CE}=\frac{PB}{PC}\) (5)

Từ (2) và (5), suy ra \(\frac{DB}{DC}=\frac{PB}{PC}\left(=\frac{BF}{CE}\right)\). Theo định lý đường phân giác trong tam giác, suy ra PD là tia phân giác của \(\hat{BPC}\). (6)

Từ (1) và (6), suy ra P, D, M thẳng hàng (vì cùng nằm trên đường phân giác của \(\hat{BPC}\)). Ta có đpcm.

\(đkxđ:\begin{cases}x\ge-2\\ x+6-4\sqrt{x+2}\ge0\left(1\right)\end{cases}\)

(1) \(\lrArr x+6\ge4\sqrt{x+2}\)

Vì với \(x\ge-2\) thì cả 2 vế của bpt này đều không âm nên ta có thể bình phương 2 vế của nó, thu được \(x^2+12x+36\ge16x+32\)

\(\lrArr x^2-4x+4\ge0\)

\(\lrArr\left(x-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Như vậy đkxđ của pt đã cho là \(x\ge-2\)

pt đã cho \(\lrArr\sqrt{x+2-4\sqrt{x+2}+4}=\sqrt{4-4\sqrt5+5}\)

\(\lrArr\sqrt{\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\cdot2\cdot\sqrt{x+2}+2^2}=\sqrt{2^2-2\cdot2\sqrt5\cdot1+\left(\sqrt5\right)^2}\)

\(\lrArr\sqrt{\left(\sqrt{x+2}-2\right)^2}=\sqrt{\left(2-\sqrt5\right)^2}\)

\(\lrArr\left|\sqrt{x+2}-5\right|=\sqrt5-2\) (2)

TH1: \(\sqrt{x+2}\ge5\lrArr x\ge23\) thì (2) trở thành

\(\sqrt{x+2}-5=\sqrt5-2\)

\(\lrArr\sqrt{x+2}=\sqrt5+3\)

\(\rArr x+2=\left(\sqrt5+3\right)^2\)

\(\lrArr x+2=14+6\sqrt5\)

\(\lrArr x=12+6\sqrt5\) (nhận)

TH2: \(\sqrt{x+2}<5\lrArr x<23\) (hay \(-2\le x<23\)) thì (2) trở thành

\(5-\sqrt{x+2}=\sqrt5-2\)

\(\lrArr\sqrt{x+2}=7-\sqrt5\)

\(\rArr x+2=\left(7-\sqrt5\right)^2\)

\(\lrArr x+2=54-14\sqrt5\)

\(\lrArr x=52-14\sqrt5\) (nhận)

Vậy \(x=52-14\sqrt5\) hoặc \(x=12+6\sqrt5\)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, HK. Khi đó M là điểm cố định và MN là đường trung bình của hình thang BHKC, suy ra BH//MN//CK và \(BH+CK=2MN\).

Có BH//MN//CK và BH, CK vuông góc với d nên MN cũng vuông góc với d, suy ra \(MN\le MA\), suy ra \(BH+CK=2MN\le2MA\).

Dấu "=" xảy ra khi \(MN=MA\) hay N trùng với A, nghĩa là MA vuông góc với d.

Vậy khi d vuông góc với AM (cố định) thì \(BH+CK\) lớn nhất.

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và HK. Khi đó M là điểm cố định và MN là đường trung bình của hình thang BHKC. Suy ra MN//BH//CK và \(BH+CK=2MN\) (tính chất đường trung bình của hình thang). Do đó, để \(BH+CK\) lớn nhất thì \(\) \(MN\) phải lớn nhất.

Có MN//BH//CK, mà BH, CK vuông góc với d nên MN vuông góc với d, dẫn đến \(MN\le MA\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).

Dấu "=" xảy ra khi \(MH=MA\) hay N trùng với A, nghĩa là MA vuông góc với d.

Vậy khi d vuông góc với MA thì \(BH+CK\) lớn nhất.

Gọi số người của đội là \(x\left(x\in N,x\ge1\right)\), phần công việc 1 người làm trong 1 ngày là \(y\left(y>0\right)\). Khi đó, số ngày làm việc theo dự định là \(\frac{1}{xy}\).

Nếu thêm 16 người thì hoàn thành sớm hơn dự định 12 ngày nên thời gian để hoàn thành công việc trong trường hợp này là \(\frac{1}{\left(x+16\right)y}\). Ta có \(\frac{1}{\left(x+16\right)y}=\frac{1}{xy}-12\lrArr\frac{1}{xy+16y}=\frac{1-12xy}{xy}\)

\(\lrArr xy=xy-12x^2y^2+16y-192xy^2\)

\(\lrArr3x^2y+48xy-4=0\) (1)

Nếu bớt 6 người thì hoàn thành muộn hơn 10 ngày nên ta có \(\frac{1}{\left(x-6\right)y}=\frac{1}{xy}+10\lrArr\frac{1}{xy-6y}=\frac{1+10xy}{xy}\)

\(\lrArr xy=xy+10x^2y^2-6y-60xy^2\)

\(\lrArr5x^2y-30xy-3=0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x^2y=\frac45,xy=\frac{1}{30}\)

\(\rArr x=\frac{x^2y}{xy}=\frac{\frac45}{\frac{1}{30}}=24\)

Vậy đội có 24 người.

Ta có \(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

\(=\sqrt{4-a}+\sqrt{4-b}+\sqrt{4-c}\)

Chứng minh \(P<6\):

Ta có \(P^2=\left(\sqrt{4-a}+\sqrt{4-b}+\sqrt{4-c}\right)^2\)

\(=\left(1\cdot\sqrt{4-a}+1\cdot\sqrt{4-b}+1\cdot\sqrt{4-c}\right)^2\)

\(\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left\lbrack\left(\sqrt{4-a}\right)^2+\left(\sqrt{4-b}\right)^2+\left(\sqrt{4-c}\right)^2\right\rbrack\)(bất đẳng thức B.C.S)

\(=3\left(12-\left(a+b+c\right)\right)\)

\(=24\) (vì \(a+b+c=4\))

\(\rArr P\le\sqrt{24}=2\sqrt6<6\) (đpcm)