a) Xét \(x=a\in R\) bất kì. Ta có:

\(f^{\prime}\left(a\right)=\lim_{x\rarr a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}=\lim_{x\rarr a}\frac{3x^2-5x-3a^2+5a}{x-a}\)

\(=\lim_{x\rarr a}\frac{3\left(x-a\right)\left(x+a\right)-5\left(x-a\right)}{x-a}\)

\(=\lim_{x\rarr a}\left(3\left(x+a\right)-5\right)\)

\(=6a-5\)

Vậy \(f^{\prime}\left(x\right)=6x-5\)

b) Ta có \(f\left(x\right)=2x^2-x-1\)

Với \(x=b\in R\) bất kì, ta có:

\(f^{\prime}\left(b\right)=\lim_{x\rarr b}\frac{f\left(x\right)-f\left(b\right)}{x-b}=\lim_{x\rarr b}\frac{2x^2-x-1-2b^2+b+1}{x-b}\)

\(=\lim_{x\rarr b}\frac{2\left(x+b\right)\left(x-b\right)-\left(x-b\right)}{x-b}\)

\(=\lim_{x\rarr b}\left\lbrack2\left(x+b\right)-1\right\rbrack\)

\(=4b-1\)

Vậy \(f^{\prime}\left(x\right)=4x-1\)

Gọi các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là \(\overline{abc}\)

TH1: \(c=0\). Khi đó a có 5 cách chọn (khác 0) và b có 4 cách chọn. (khác 0 và khác a) nên có \(5\cdot4=20\) (số)

TH2: \(c\ne0\). Khi đó c có 2 cách chọn (2 và 4), a có 4 cách chọn (khác 0 và khác c) và b có 4 cách chọn (khác c và khác a) nên có \(2\cdot4\cdot4=32\) cách.

Vậy có tất cả \(20+32=52\) số thỏa mãn ycbt.

Thể tích phần rỗng trong cốc nước trước khi thả quả trứng vào là:

350 - 330 = 20 (ml)

Thể tích quả trứng là:

20 + 24 = 44 (ml)

Đáp số: 44 ml

a) Ta xem đồng hồ như một đường tròn lượng giác với trục hoành từ hướng 9 giờ đến 3 giờ, trục tung từ hướng 6 giờ đến 12 giờ.

Khi đó, tại thời điểm \(t=0\) (tức 4 giờ 20 phút), thì kim phút đang ở vị trí có góc lượng giác là \(\phi_0=-\frac{\pi}{6}\left(rad\right)\), còn kim giờ ở vị trí có góc lượng giác là \(\phi_0^{\prime}=-\frac{7\pi}{18}\left(rad\right)\)

Ta xem chuyển động của kim giờ và kim phút là những dao động điều hòa với cùng biên độ là 1. Khi đó kim phút dao động với tần số góc \(\omega=2\pi\left(\frac{rad}{h}\right)=\frac{\pi}{1800}\left(\frac{rad}{s}\right)\), còn kim giờ dao động với tần số góc là \(\omega^{\prime}=\frac{\pi}{6}\left(\frac{rad}{h}\right)=\frac{\pi}{21600}\left(\frac{rad}{s}\right)\)

Ta viết được pt dao động điều hòa của kim phút và kim giờ như sau:

Kim phút: \(x=\cos\left(-\frac{\pi}{1800}t-\frac{\pi}{6}\right)\)

Kim giờ: \(x^{\prime}=\cos\left(-\frac{\pi}{21600}t^{}-\frac{7\pi}{18}\right)\)

Kim giờ và kim phút gặp nhau: Cho \(x=x^{\prime}\)

\(\lrArr\cos\left(-\frac{\pi}{1800}t-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{21600}t-\frac{7\pi}{18}\right)\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}-\frac{\pi}{1800}t-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{21600}t-\frac{7\pi}{18}+2k\pi\left(k\in Z\right)\\ -\frac{\pi}{1800}t-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{21600}t+\frac{7\pi}{18}+2l\pi\left(l\in Z\right)\end{array}\right.\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}\frac{11}{21600}t=\frac29+2k\\ \frac{13}{21600}t=-\frac59+2l\end{array}\right.\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}t=\frac{4800}{11}+\frac{43200k}{11}\\ t=-4000+\frac{43200}{13}l\end{array}\right.\)

Ta chọn \(k,l\in Z\) để chọn được \(t\) gần với 0 nhất. Cho \(k=0\) thì tìm được \(t=\frac{4800}{11}\left(s\right)\) , cho \(l=2\) thì \(t=\frac{42400}{11}\left(s\right)\). Rõ ràng ta sẽ nhận \(t=\frac{4800}{11}\left(s\right)\)

Vậy sau ít nhất \(\frac{4800}{11}\left(s\right)\) (xấp xỉ 436,36s) thì kim giờ và kim phút trùng nhau. (Bạn có thể tự kiểm chứng trực tiếp bằng cách vặn đồng hồ nhà mình.)

b) Chu kì của kim giây là \(T=60s\). Vậy khi đó góc quét của kim giây là \(\Delta\phi=\frac{\Delta t}{T}.2\pi=\frac{\frac{4800}{11}}{60}.2\pi=\frac{160}{11}\pi\)

Vậy số vòng kim giây đi được là \(\frac{\frac{160}{11}\pi}{2\pi}=\frac{80}{11}\) (xấp xỉ 7,27 vòng)

BBT của f(x):

Hình vẽ đây nhé.

Gọi \(AC=AB=x\left(0. Khi đó \(SA=\sqrt{1-x^2}\)

\(\rArr V=\frac13\cdot\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot SA\)

\(=\frac16x^2\sqrt{1-x^2}\)

Xét hàm số \(f\left(x\right)=x^2\sqrt{1-x^2}\) trên \(\left(0;1\right)\)

Ta có \(f^{\prime}\left(x\right)=2x\sqrt{1-x^2}+\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot x^2\)

\(=\frac{2x\left(1-x^2\right)-x^3}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(=\frac{2x-3x^3}{\sqrt{1-x^2}}\)

Cho \(f^{\prime}\left(x\right)=0\lrArr\left[\begin{array}{l}x=0\\ 2-3x^2=0\end{array}\right.\lrArr\left[\begin{array}{l}x=0\left(loại\right)\\ x=\frac{\sqrt6}{3}\left(nhận\right)\\ x=-\frac{\sqrt6}{3}\left(loại\right)\end{array}\right.\)

Lập BBT, ta thấy \(\max_{\left(0;1\right)}f\left(x\right)=f\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)=\frac{2\sqrt3}{9}\)

\(\rArr\max V=\frac16\cdot\max_{\left(0;1\right)}f\left(x\right)=\frac16\cdot\frac{2\sqrt3}{9}=\frac{\sqrt3}{27}\)

Vậy \(\max V=\frac{\sqrt3}{27}\). Dấu "=" xảy ra khi \(AC=AB=x=\frac{\sqrt6}{3}\) và \(SA=\frac{\sqrt3}{3}\)

Ta có \(\left|\Omega\right|=C_{15}^4=1365\)

Gọi A là biến cố: "4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất.". Khi đó trường hợp duy nhất thỏa mãn là bốc được 2 bi đỏ, 1 bi trắng và 1 bi xanh.

\(\rArr\left|A\right|=C_5^2\cdot4\cdot6=240\)

\(\rArr P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\frac{240}{1365}=\frac{16}{91}\)

Cái trên mình làm sai đấy, sửa lại thế này mới đúng:

\(f^{\prime}\left(0\right)=\lim_{x\to0}\frac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}\)

\(=\lim_{x\to0}\frac{x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ldots\left(x-2021\right)}{x}\) (do \(f\left(0\right)=0\) )

\(=\lim_{x\to0}\left\lbrack\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ldots\left(x-2021\right)\right\rbrack\)

\(=\left(0-1\right)\left(0-2\right)\ldots\left(0-2021\right)\)

\(=-2021!\)

-> Chọn D

Câu 9:

\(f\left(x\right)=x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ldots\left(x-2021\right)\)

\(\rArr\ln\left\lbrack f\left(x\right)\right\rbrack=\ln\left\lbrack x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ldots\left(x-2021\right)\right\rbrack\) (giả sử mọi đkxđ đều thỏa mãn.

\(\rArr\ln\left\lbrack f\left(x\right)\right\rbrack=\ln x+\ln\left(x-1\right)+\ln\left(x-2\right)+\cdots+\ln\left(x-2021\right)\) (*)

Đạo hàm 2 vế của (*), thu được \(\frac{f^{\prime}\left(x\right)}{f\left(x\right)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\cdots+\frac{1}{x-2021}\)

\(\rArr f^{\prime}\left(x\right)=f\left(x\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}+\cdots+\frac{1}{x-2021}\right)\)

Mà dễ thấy \(f\left(0\right)=0\) nên \(f^{\prime}\left(0\right)=0\)

-> Chọn A