Gọi D là giao điểm của AG và BC => DB = DC

Ta có BG = 2/3 BE; CG = 2/3 CF (tính chất trọng tâm)

Vì BE = CF nên BG = CG => ∆BCG cân tại G

=> góc GCB = góc GCB

Xét ∆BFC và ∆CEB có:

CF = BE (gt)

góc GCB = góc GBC (cmt)

BC là cạnh chung

=> ∆BFC = ∆CEB (c-g-c)

=> góc FBC = góc FCB (2 góc tương ứng)

=> ∆ABC cân tại A => AB = AC

Từ đó suy ra ∆ABD = ∆ACD (c-c-c)

=> góc ADB = góc ADC (hai góc tương ứng)

Mà góc ADB + góc ADC = 180º => góc ADB = góc ADC = 90º => AD ⊥ BC hay AG ⊥ BC.

a) Ta có DM = DG => GM = 2GD

Ta lại có G là giao điểm của BD và CE => G là trọng tâm của ∆ABC

=> BG = 2GD

Suy ra BG = GM

Chứng minh tương tự ta được CG = GN.

b) Xét ∆GMN và ∆GBC có GM = GB (cmt)

góc MGN = góc BGC

GN = GC (cmt)

Do đó ∆GMN = ∆GBC (c-g-c)

=> MN = BC (2 cạnh tương ứng bằng nhau)

Theo chứng minh trên ∆GMN = ∆GBC => góc NMG = góc CBG (hai góc tương ứng bằng nhau)

Mà góc NMG và góc CBG ở vị trí so le trong nên MN // BC.

a) Ta có BF = 2BE => BE = EF

Mà BE = 2ED nên EF = 2ED => D là trung điểm của EF => CD là đường trung tuyến của ∆EFC.

Vì K là trung điểm của CF nên EK là đường trung tuyến của ∆EFC.

∆EFC có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆EFC.

b) Ta có G là trọng tâm ∆EFC nên GC/DC = 2/3 và GE = 2/3 EK

=> GK = 1/3 EK => GE = 2GK => GE/GK = 2.

a) Xét ∆ABD có C là trung điểm của cạnh AD => BC là trung tuyến của △ABD.

Hơn nữa G ∈ BC và GB = 2GC => GB = 2/3 BC => G là trọng tâm ∆ABD

Lại có AE là đường trung tuyến của ∆ABD nên A, G, E thẳng hàng.

b) Ta có G là trọng tâm của ∆ABD => DG là đường trung tuyến của tam giác này

=> DG đi qua trung điểm của cạnh AB.

a) Ta có:

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A )

=> 1/2 AB = 1/2 AC hay AE = AD

Xét ΔABD và ΔACE có:

AB = AC(cmt)

góc A chung

AD = AE (cmt)

=> ΔABD = ΔACE

=> BD=CE (2 cạnh tương ứng bằng nhau)

b) Có BD = CE ( cmt )

=> 2/3 BD = 2/3 CE hay GB = GC

=> ΔGBC cân tại G

c) Ta có GB = 2/3 BD => GD = 1/3 BD => GB = 2GD => GD = 1/2 GB

Chứng minh tương tự, ta có GE = 1/2 GC

Do đó GD + GE = 1/2 GB + 1/2 GC = 1/2 (GB + GC)

Mà GB + GC > BC (trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại)

Do đó GD + GE > 1/2 BC.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

=> G là trọng tâm của tam giác ABC.

=> BG = 2/3 BM; CG = 2/3 CN.

=> BM = 3/2 BG; CN = 3/2 CG.

Do đó ta phải chứng minh 3/2 BG + 3/2 CG > 3/2 BC hay BG + CG > BG ⑴
Bất đẳng thức ⑴ luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài hai cạnh còn lại.

=> BM + CN > 3/2 BC.

Thay S = 100 vào S = πR² ta được πR² = 100.

Suy ra R = √ 100/π.

Sử dụng máy tính cầm tay tính được R = 5,64189....

Cần làm tròn đến hàng chục để có độ chính xác d = 0,05.

Kết quả là R ≈ 5,6.

a) Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AB = AC

Góc B = góc C (do ∆ABC cân tại A)

MB = MC (do M là trung điểm của cạnh BC)

=> ∆AMB = ∆AMC (c-g-c)

b) Do GT ME ⊥ AB ( E ∈ AB )

MF ⊥ AC (F ∈ AC) suy ra ∆EMB và ∆FMC là 2 tam giác giác vuông (tại E và F)

Mà MB = MC, góc B = góc C

=> ∆EMB = ∆FMC (cạnh huyền - góc nhọn).

=> EB = FC (2 cạnh tương ứng).

Mà AB = AC nên EA = AB - EB = AC - FC = FA.

c) ∆AEF cân ở A (do EA = FA theo chứng minh trên) nên góc AEF = (180º - góc A) : 2

Tương tự, ∆ABC cân ở A (GT) nên góc ABC = (180º - góc A) : 2

Do đó góc AEF = góc ABC, mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> EF // BC (dấu hiệu nhận biết)

a) Tỉ lệ phần trăm lượng cam tiêu thụ được là:

$100-(20+17,5+35,5)=27\%$

b) Do $35,5>27>20>17,5$ nên hai loại quả có lượng tiêu thụ nhiều nhất là quýt và cam.

c) Tổng lượng cam và bưởi tiêu thụ được là:

 $27+20=47\%$.

d) $135$ kg cam bằng $27\%$ toàn bộ số quả bán được nên $100\%$ số quả bán được là:

     $135:27\%=500$ kg.

Giả thiết: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba.

Kết luận: Chúng song song với nhau.