a) chứng minh tứ giác \(A H C K\) là hình bình hành

xét tứ giác \(A H C K\):

\(A H \bot B D\), \(C K \bot B D\)
⇒ \(A H \parallel C K\) (cùng vuông góc với \(B D\)) (1)

\(A , C\) là hai đỉnh đối của hình bình hành ⇒ \(A C \parallel B D\)
⇒ vì \(H , K\) cùng nằm trên \(B D\) ⇒ đoạn \(H K \parallel A C\)
⇒ \(C H \parallel A K\) (2)

từ (1) và (2):

\(A H \parallel C K\) và \(A H = C K\) (vì cùng là đường cao từ \(A\), \(C\) xuống đường chéo \(B D\))

\(H C \parallel A K\), và \(H C = A K\)

→ tứ giác \(A H C K\) có hai cặp cạnh đối song song
⇒ \(A H C K\) là hình bình hành

b) gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\). chứng minh \(I B = I D\)

xét tam giác \(B I D\):

gọi \(I\) là trung điểm của \(H K\)

từ câu a, \(A H C K\) là hình bình hành ⇒ \(A H = C K\) và đối xứng nhau qua đường chéo \(B D\)

→ \(H\) và \(K\) đối xứng nhau qua điểm \(O\) – trung điểm của \(B D\)
→ ⇒ \(I\) nằm chính giữa \(H K\), cũng đối xứng qua trung điểm \(O\) của \(B D\)

→ khoảng cách từ \(I\) đến \(B\) bằng khoảng cách từ \(I\) đến \(D\)
⇒ \(I B = I D\)

a)

xét tứ giác \(E B F D\):

\(E\) là trung điểm của \(A D\)

\(F\) là trung điểm của \(B C\)

mà trong hình bình hành:

\(A D \parallel B C\), \(A D = B C\) (tính chất hình bình hành)

⇒ đoạn \(E F\) nối hai trung điểm của hai cạnh song song và bằng nhau
→ \(E F \parallel D B\) và \(E F = D B\) (vì \(D B\) là cạnh chéo của hình bình hành)

mặt khác, \(D B\) là cạnh chung của tứ giác

→ tứ giác \(E B F D\) có hai cạnh đối \(E F\) và \(D B\) vừa song song vừa bằng nhau
⇒ \(E B F D\) là hình bình hành

b)

gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo \(A C\) và \(B D\)

( \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\) vì \(A B C D\) là hình bình hành)

xét tam giác \(A B D\):

\(E\) là trung điểm của \(A D\)

\(O\) là trung điểm của \(B D\)

→ đoạn thẳng nối \(E\) và \(O\) là đường trung bình của tam giác \(A B D\)
⇒ \(E O \parallel A B\), \(E O = \frac{1}{2} A B\)

xét tam giác \(C B A\):

\(F\) là trung điểm của \(B C\)

\(O\) là trung điểm của \(A C\)

→ đoạn thẳng nối \(F\) và \(O\) là đường trung bình của tam giác \(C B A\)
⇒ \(F O \parallel A B\), \(F O = \frac{1}{2} A B\)

→ \(E O = F O\) và cùng song song với \(A B\)
⇒ hai đoạn thẳng \(E O\) và \(F O\) nằm trên cùng một đường thẳng

→ 3 điểm \(E\), \(O\), \(F\) thẳng hàng

xét hai đoạn \(P Q\) và \(M N\) có :

\(P\), \(Q\) là trung điểm của \(G B\), \(G C\)
⇒ \(P Q\) là đoạn nối trung điểm của hai cạnh tam giác \(B G C\)
→ Theo định lý trung điểm, ta có:
 \(P Q \parallel B C\) và \(P Q = \frac{1}{2} B C\) (1)

\(M\), \(N\) là trung điểm của \(A C\), \(A B\)
⇒ \(M N\) là đoạn nối trung điểm của hai cạnh tam giác \(A B C\)
→ Theo định lý trung điểm, ta có:
 \(M N \parallel B C\) và \(M N = \frac{1}{2} B C\) (2)

từ (1) và (2) suy ra:

\(P Q \parallel M N\) và \(P Q = M N\)

→ Tứ giác \(P Q M N\) có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau
⇒ \(P Q M N\) là hình bình hành

a, tứ giác \(A E F D\) có:

\(B\) là trung điểm của \(A E\) ⇒ \(A E = 2 A B\)

\(C\) là trung điểm của \(D F\) ⇒ \(D F = 2 D C\)

vì \(A B = D C\) và \(A B \parallel D C\) (do \(A B C D\) là hình bình hành)

⇒ \(A E = D F\) và \(A E \parallel D F\)

→ \(A E F D\) là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)

tứ giác \(A B F C\) có:

• \(A B\) và \(F C\) đều bằng nhau (vì \(A E = D F\), mà \(A B = \frac{1}{2} A E\), \(F C = \frac{1}{2} D F\))
• \(A B \parallel F C\) (vì \(A E \parallel D F\))

→ \(A B F C\) là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)

b, gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(A F\)

vì \(B\) là trung điểm của \(A E\), \(C\) là trung điểm của \(D F\)

mà \(A E = D F\), nên đoạn \(B C\) nối hai trung điểm của hai đoạn bằng nhau
→ \(M\) là trung điểm của \(B C\)

tương tự: \(D\) đối với \(A\), \(F\) đối với \(E\) → đoạn \(D E\) đối diện đoạn \(A F\)
→ \(M\) cũng là trung điểm của \(D E\)

→ các trung điểm của \(A F\), \(D E\), \(B C\) trùng nhau

xét ΔOAM và ΔOCN có:

góc AOM = góc CON (đối đỉnh)

OA=OC ( O là trung điểm của đường chéo AC)

góc OAM = góc OCN (so le trong)

do đó ΔOAM = ΔOCN (góc-cạnh-góc)

vì ΔOAM = ΔOCN nên AM=CN (hai cạnh tương ứng)

mà AB=CD (vì là hình bình hành)

➝ MB=AB−AM=CD−CN=ND

và MB∥ND (vì \(A B \parallel C D\))

⇒ \(M B N D\) có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau
→ \(M B N D\) là hình bình hành

a) chứng minh \(A E F D\) và \(A E C F\) là hình bình hành

xét hai đoạn thẳng \(A E\) và \(D F\) có :

\(E\) là trung điểm của \(A B\), nên \(A E = \frac{1}{2} A B\)

\(F\) là trung điểm của \(C D\), nên \(D F = \frac{1}{2} C D\)

nhưng \(A B C D\) là hình bình hành ⇒ \(A B = C D\)

→ \(A E = D F\)

mặt khác:
vì \(A B \parallel C D\) ( \(A B C D\) là hình bình hành)
→ \(A E \parallel D F\) (vì cùng là nửa của hai đoạn song song)

→ \(A E = D F\) và \(A E \parallel D F\)
⇒ \(A E F D\) là hình bình hành

2. tứ giác \(A E C F\) là hình bình hành

xét hai đường chéo \(A F\) và \(E C\) có:

\(E\) là trung điểm của \(A B\)

\(C\) là đỉnh của hình bình hành
→ \(E C\) nối đỉnh và trung điểm

\(F\) là trung điểm của \(C D\)

\(A\) là đỉnh
→ \(A F\) cũng nối đỉnh và trung điểm

ta xét điểm \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(A F\) và \(E C\)

ta chứng minh \(O\) là trung điểm của cả \(A F\) và \(E C\):

vì \(E\) và \(F\) là trung điểm, nên các đoạn \(A E\), \(E F\), \(F C\), \(E C\), \(A F\) chia đều

có thể suy luận từ hình vẽ rằng:
\(A F\) và \(E C\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

→ hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm ⇒ \(A E C F\) là hình bình hành (dấu hiệu hình bình hành: hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

b) chứng minh \(E F = A D\), \(A F = E C\)

1. chứng minh \(E F = A D\)

từ trên, ta đã chứng minh tứ giác \(A E F D\) là hình bình hành
→ Hình bình hành có các cạnh đối bằng nhau
⇒ \(E F = A D\)

2. chứng minh \(A F = E C\)

tứ giác \(A E C F\) là hình bình hành
→ Các cạnh đối bằng nhau
⇒ \(A F = E C\)

cái jz pa

Đay là của lp 6 ư, nhìn ko hỉu j cả

cute z