Cho `a,b,c,d>=0.CMR:a/(b^2+c^2+d^2)+b/(c^2+d^2+a^2)+c/(d^2+a^2+b^2)+d/(a^2+b^2+c^2)>=4/(a+b+c+d)`.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 10 2016
a) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
TM
30 tháng 9 2017
Áp dụng bđt Cô-si: \(a^2+b^2+c^2+d^2\)\(\ge4\sqrt[4]{a^2.b^2.c^2.d^2}\)\(=4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}=4\sqrt[4]{1^2}=4;\)
\(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)=ab+ac+bc+bd+dc+da\)
\(\ge6\sqrt[6]{ab.ac.bc.bd.dc.da}=6\sqrt[6]{\left(abcd\right)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)
=>\(a^2+b^2+c^2+d^2\)\(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\ge4+6=10\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1
8 tháng 3 2017
abcd = 1 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab=\frac{1}{cd}\\ac=\frac{1}{bd}\\bc=\frac{1}{ad}\end{cases}}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
A = \(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\)\(=\left(a^2+b^2+ab\right)+\left(c^2+d^2+cd\right)+ac+bc+bd+ad\)
\(=\left(a^2+b^2+ab\right)+\left(c^2+d^2+cd\right)+\left(\frac{1}{bd}+bd\right)+\left(\frac{1}{ad}+ad\right)\)
\(\ge3\sqrt{a^2.b^2.ab}+3\sqrt{c^2.d^2.cd}+2\sqrt{\frac{1}{bd}.bd}+2\sqrt{\frac{1}{ad}.ad}\)
\(\Leftrightarrow A\ge3ab+3cd+2+2\)\(=\frac{3}{cd}+3cd+4\ge2\sqrt{\frac{3}{cd}.3cd}+4=6+4=10\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = 1
ND
17 tháng 4 2018
2)
Xét hiệu:
\(A^2+B^2+C^2+D^2+4-2A-2B-2C-2D\)
\(=\left(A^2-2A+1\right)+\left(B^2-2B+1\right)+\left(C^2-2C+1\right)+\left(D^2-2D+1\right)\)
\(=\left(A-1\right)^2+\left(B-1\right)^2+\left(C-1\right)^2+\left(D-1\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
Vậy \(A^2+B^2+C^2+D^2+4\ge2\left(A+B+C+D\right)\)
ND
17 tháng 4 2018
1)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm, ta có:
\(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{BC}{A}\ge2\sqrt{\dfrac{AB}{C}.\dfrac{BC}{A}}=2B\) (1)
\(\dfrac{BC}{A}+\dfrac{AC}{B}\ge2\sqrt{\dfrac{BC}{A}.\dfrac{AC}{B}}=2C\) (2)
\(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}\ge2\sqrt{\dfrac{AB}{C}.\dfrac{AC}{B}}=2A\) (3)
Từ (1)(2)(3) cộng vế theo vế:
\(2\left(\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}+\dfrac{BC}{A}\right)\ge2\left(A+B+C\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{C}+\dfrac{AC}{B}+\dfrac{BC}{A}\ge A+B+C\)