Question

[Phan thị]

cho các số nguyên a,b,c thoã mãn a+b+c=2100 CMR a^49+b^49+c^49 chia hếtcho 42 giúppp em vsss

Answer 1

[Xuân Dũng Đào]

Vì \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\), ta cần chứng minh biểu thức chia hết cho 2, 3 và 7.

---

1. Chia hết cho 2:
Vì số mũ 49 lẻ nên:

\(x^{49} \equiv x \left(\right. m o d 2 \left.\right) .\)

Suy ra:

\(a^{49} + b^{49} + c^{49} \equiv a + b + c = 2100 \equiv 0 \left(\right. m o d 2 \left.\right) .\)

Vậy biểu thức chia hết cho 2.

---

2. Chia hết cho 3:
Xét các số dư mod 3:

• Nếu \(x \equiv 0\) thì \(x^{49} \equiv 0\).
• Nếu \(x \equiv 1\) thì \(x^{49} \equiv 1\).
• Nếu \(x \equiv 2\) thì \(x^{49} \equiv 2^{49} \equiv 2\) (vì \(2 \equiv - 1\) và \(\left(\right. - 1 \left.\right)^{49} = - 1 \equiv 2\)).

Vậy với mọi \(x\), ta có \(x^{49} \equiv x \left(\right. m o d 3 \left.\right)\).

Suy ra:

\(a^{49} + b^{49} + c^{49} \equiv a + b + c = 2100 \equiv 0 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)

Nên biểu thức chia hết cho 3.

---

3. Chia hết cho 7:
Theo định lí Fermat nhỏ: nếu \(\left(\right. x , 7 \left.\right) = 1\) thì

\(x^{6} \equiv 1 \left(\right. m o d 7 \left.\right) .\)

Do đó:

\(x^{49} = x^{6 \cdot 8 + 1} \equiv \left(\right. x^{6} \left.\right)^{8} \cdot x \equiv 1^{8} \cdot x \equiv x \left(\right. m o d 7 \left.\right) .\)

Nếu \(7 \mid x\) thì hiển nhiên \(x^{49} \equiv x \equiv 0 \left(\right. m o d 7 \left.\right)\).

Vậy với mọi \(x\), ta có \(x^{49} \equiv x \left(\right. m o d 7 \left.\right)\).

Suy ra:

\(a^{49} + b^{49} + c^{49} \equiv a + b + c = 2100 \equiv 0 \left(\right. m o d 7 \left.\right) .\)

---

Kết luận:
Biểu thức \(a^{49} + b^{49} + c^{49}\) chia hết cho \(2 , 3 , 7\).
Vậy nó chia hết cho \(\text{BCNN} \left(\right. 2 , 3 , 7 \left.\right) = 42\).

\(\).