b) Cho các số nguyên a, b thỏa: 3a +5b chia hết cho 31. Chứng tỏ 7a+ 22b chia hết cho 31
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 8
Bài toán cho:
- (1) \(3 a + 5 b \equiv 0 \left(\right. m o d 31 \left.\right)\)
- (2) \(7 a + 22 b \equiv 0 \left(\right. m o d 31 \left.\right)\)
Bước 1: Giải hệ đồng dư
Từ (1):
\(3 a \equiv - 5 b \left(\right. m o d 31 \left.\right) .\)
=> \(a \equiv - 5 \cdot 3^{- 1} b \left(\right. m o d 31 \left.\right)\).
Phải tìm nghịch đảo của 3 modulo 31.
\(3 \cdot 21 = 63 \equiv 1 \left(\right. m o d 31 \left.\right) .\)
→ \(3^{- 1} \equiv 21\).
Vậy:
\(a \equiv - 5 \cdot 21 b \left(\right. m o d 31 \left.\right) .\)
Tính: \(- 5 \cdot 21 = - 105\).
Chia cho 31: \(- 105 \equiv - 105 + 4 \cdot 31 = - 105 + 124 = 19\).
→ \(a \equiv 19 b \left(\right. m o d 31 \left.\right)\).
Bước 2: Thay vào (2)
Thay vào (2):
\(7 a + 22 b \equiv 7 \left(\right. 19 b \left.\right) + 22 b \equiv \left(\right. 133 + 22 \left.\right) b \equiv 155 b \left(\right. m o d 31 \left.\right) .\)
Mà \(155 = 31 \cdot 5\).
→ \(155 b \equiv 0 \left(\right. m o d 31 \left.\right)\).
Đúng với mọi \(b\).
Bước 3: Kết luận
Vậy nghiệm của hệ là:
\(a \equiv 19 b \left(\right. m o d 31 \left.\right) , b \in \mathbb{Z} .\)
Hay nói cách khác: tồn tại \(k \in \mathbb{Z}\) sao cho
\(a = 19 k , b = k \left(\right. m o d 31 \left.\right) .\)
👉 Kết quả: Các cặp \(\left(\right. a , b \left.\right)\) nguyên thỏa mãn là \(\left(\right. a , b \left.\right) = \left(\right. 19 k + 31 m , \textrm{ } k + 31 n \left.\right)\), với \(k , m , n \in \mathbb{Z}\).
tham khảo
TM
21 tháng 10 2016
Ta có: 23a + 23b chia hết cho 23
=>\(7a+3b+16a+20b\) chia hết cho 23
=>\(7a+3b+4\left(4a+5b\right)\)chia hết cho 23
Theo đề bài: 7a + 3b chia hết cho 23
=> 4(4a + 5b) chia hết cho 23
Mà 4 không chia hết cho 23 nên 4a + 5b phải chia hết cho 23 (đpcm)
21 tháng 1 2017
xét hiệu:
7(4a+5b)-4(7a+3b)
=28a+35b-28a-12b
=(28a-28a)+(35b-12b)
=23b
vì 23 chia hết 23 suy ra 23b chia hết 23 suy ra 7(4a+5b)-4(7a+3b) chia hết cho 23 (1)
mà 7a+3b chia hết 23 suy ra 4(7a+3b) chia hết 23
suy ra 4a+5b chia hết 23
k cho tui với
NT
1
22 tháng 7 2015
6x+11y chia hết cho 31
=> 6x + 11y + 31y chia hết cho 31 (vì 31y cũng chia hết cho 31)
=> 6x + 42y chia hết cho 31
=> 6(x+7y) chia hết cho 31
Vì 6 và 31 nguyên tố cũng nhau nên x+7y cũng phải chia hết cho 31 (ĐPCM)
10 tháng 8 2024
Ta có: 5(7a + 3b) : 23 = k (với k thuộc N)
=> 35a + 15b = 23k => 15b = 23k - 35a
Ta có: 3(4a + 5b) = 12a + 15b = 12a + 23k - 35a
= (-23a) + 23k = 23(-a + k)
Do 23(-a + k) ⋮ 23 => 3(4a + 5b) ⋮ 23 => 4a + 5b ⋮ 23 (đpcm)
DA
0
CP
2
26 tháng 2 2020
có :
6(x + 7y) = 6x + 42y
= 6x + 11y + 31y
6x + 11y chia hết cho 31
31y chia hết cho 31
=> 6(x + 7y) chia hết cho 31 vì 6 không chia hết cho 31
=> x + 7y chia hết cho 31
3a+5b⋮31
=>7(3a+5b)⋮31
=>21a+35b⋮31
=>21a+66b-31b⋮31
=>21a+66b⋮31
=>3(7a+22b)⋮31
=>7a+22b⋮31
Giả sử \(\)3a + 5b chia hết cho 31
ta có
\(3a+5b=31k\left(\right.k\in\mathbb{Z}\left.\right)\)
Ta có
\(7a+22b=\left(\right.3a+5b\left.\right)\cdot23\)
\(\left(\right.3a+5b\left.\right)\cdot23=69a+115b\)
Mà \(69 a + 115 b\) và \(7 a + 22 b\) chỉ khác nhau một bội của 31 (vì \(69 - 7 = 62 = 31 \cdot 2\), \(115 - 22 = 93 = 31 \cdot 3\))
⇒ Nên chúng có cùng tính chia hết cho 31
Do \(3 a + 5 b\) chia hết cho 31, suy ra \(\) 7a + 22b cũng chia hết cho 31
vậy
7a + 22b chia hết cho 31