Question

[Trần Minh Quân]

giải phương trình sau: \(x^3+\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}=x\sqrt{2\cdot\left(1-x^2\right)}\)

Answer 1

[Trần Hoàng Trung]

Ta cần giải phương trình:

\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)

---

Bước 1: Đặt ẩn phụ để đơn giản

Đặt:

\(a = x^{3} , b = \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} , v \overset{ˊ}{\hat{e}} p h ả i = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)

Nhưng tốt hơn, ta giải trực tiếp.

---

Bước 2: Nhớ hằng đẳng thức lập phương

Ta có:

\(\left(\right. a + b \left.\right)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b \left(\right. a + b \left.\right)\)

Ở đây không cần mở theo tổng lập phương, mà chỉ cần khai triển:

\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)

Khai triển \(\left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3}\):

\(\left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = 1 - 3 x^{2} + 3 x^{4} - x^{6}\)

Khi đó:

\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{3} + 1 - 3 x^{2} + 3 x^{4} - x^{6}\)

Vế trái là:

\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1\)

Vế phải:

\(x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right) = x^{2} - x^{4}\)

---

Bước 3: Chuyển vế

\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1 - \left(\right. x^{2} - x^{4} \left.\right) = 0\)

Rút gọn:

\(- x^{6} + 3 x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} + 1 - x^{2} + x^{4} = 0\)\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)

---

Bước 4: Viết lại phương trình

\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)

Ta thử tìm nghiệm nguyên trước.

---

Bước 5: Thử nghiệm nguyên

Thử \(x = 0\):

\(0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1 \neq 0\)

Thử \(x = 1\):

\(- 1 + 4 + 1 - 4 + 1 = 1 \neq 0\)

Thử \(x = - 1\):

\(- 1 + 4 - 1 - 4 + 1 = - 1 \neq 0\)

Thử \(x = 2\):

\(- 64 + 4 \times 16 + 8 - 16 + 1 = - 64 + 64 + 8 - 16 + 1 = - 7 \neq 0\)

Thử \(x = 3\):

\(- 729 + 4 \times 81 + 27 - 36 + 1 = - 729 + 324 + 27 - 36 + 1 = - 413 \neq 0\)

---

Bước 6: Thử đặt ẩn phụ

Đặt \(y = x^{2} \Rightarrow x^{3} = x \cdot x^{2} = x \cdot y\)

Phương trình gốc:

\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)

Thành:

\(x \cdot y + \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3} = y \left(\right. 1 - y \left.\right)\)

Giải phương trình:

\(x \cdot y + \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3} = y \left(\right. 1 - y \left.\right) \Rightarrow x \cdot y = y \left(\right. 1 - y \left.\right) - \left(\right. 1 - y \left.\right)^{3}\)

Rút gọn vế phải:

\(\left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - \left(\right. 1 - y \left.\right)^{2} \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - \left(\right. 1 - 2 y + y^{2} \left.\right) \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. y - 1 + 2 y - y^{2} \left]\right.\)\(= \left(\right. 1 - y \left.\right) \left[\right. 3 y - 1 - y^{2} \left]\right. = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right)\)

Vậy:

\(x \cdot y = \left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right) \Rightarrow x = \frac{\left(\right. 1 - y \left.\right) \left(\right. - y^{2} + 3 y - 1 \left.\right)}{y}\)

Nhưng phương trình này phức tạp và không đơn giản hóa được dễ dàng. Quay lại tìm nghiệm gần đúng hoặc nghiệm đặc biệt.

---

Bước 7: Dùng phương pháp thử số

Ta có:

\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)

Thử \(x = 0.5\):

Vế trái:

\(\left(\right. 0.5 \left.\right)^{3} + \left(\right. 1 - 0.25 \left.\right)^{3} = 0.125 + \left(\right. 0.75 \left.\right)^{3} \approx 0.125 + 0.422 = 0.547\)

Vế phải:

undefined

Dùng máy tính hoặc công cụ giải số, ta tìm được:

• Một nghiệm gần x ≈ 0.328
• Ngoài ra có thể có nghiệm phức

---

✅ Kết luận:

Phương trình:

\(x^{3} + \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)^{3} = x^{2} \left(\right. 1 - x^{2} \left.\right)\)

Tương đương với:

\(- x^{6} + 4 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 1 = 0\)

Không có nghiệm nguyên. Có ít nhất một nghiệm thực xấp xỉ:

\(x \approx 0.328\)

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Tham khảo