Question

[lục nhất sinh]

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), đường cao AH.

a)     Cho AC = 16 cm; BC = 20 cm. Giải tam giác ABC

b)   Gọi M là hình chiếu của H lên AB, gọi K là hình chiếu của H lên AC. Chứng minh BM + CK = BC( cos^3B + sin^3B )

Answer 1

[Trần Hoàng Trung]

🔷 Đề bài:

Cho tam giác \(\triangle A B C\) vuông tại A, với \(A B < A C\), đường cao từ A là \(A H\).

a) Cho \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm}\), \(B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\). Giải tam giác ABC.

b) Gọi M là hình chiếu của H lên AB, K là hình chiếu của H lên AC.

Chứng minh:

\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

---

🔹 Phần a) – Giải tam giác ABC

Dữ kiện:

• Tam giác ABC vuông tại A ⇒ \(\angle A = 90^{\circ}\)
• \(A B < A C\) ⇒ B là góc nhỏ hơn C ⇒ \(\angle B < \angle C\)
• \(A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\) (BC là cạnh huyền)
• Cần tìm cạnh còn lại AB và các góc.

---

✳️ Tính cạnh AB:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông tại A:

\(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 20^{2} - 16^{2} = 400 - 256 = 144 \Rightarrow A B = \sqrt{144} = \boxed{12 \textrm{ } \text{cm}}\)

---

✳️ Tính các góc B và C:

Sử dụng hàm lượng giác trong tam giác vuông:

• Trong tam giác vuông tại A:

\(cos ⁡ B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow \angle B = \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{3}{5} \left.\right) \approx \boxed{53.13^{\circ}}\)\(\angle C = 90^{\circ} - \angle B \approx 90^{\circ} - 53.13^{\circ} = \boxed{36.87^{\circ}}\)

---

✅ Kết quả phần a:

\(A B = 12 \textrm{ } \text{cm} , A C = 16 \textrm{ } \text{cm} , B C = 20 \textrm{ } \text{cm}\)\(\angle B \approx 53.13^{\circ} , \angle C \approx 36.87^{\circ}\)

---

🔹 Phần b) – Chứng minh:

Gọi:

• H là chân đường cao từ A
• M là hình chiếu của H lên AB
• K là hình chiếu của H lên AC

Cần chứng minh:

\(B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

---

🎯 Chiến lược giải:

Chúng ta sẽ:

1. Làm việc trong tam giác vuông tại A với đường cao AH
2. Dựng các hình chiếu M, K
3. Sử dụng lượng giác để biểu diễn độ dài các đoạn BM, CK
4. Chứng minh đẳng thức

---

✳️ Bước 1: Ghi nhớ các quan hệ

Trong tam giác ABC vuông tại A:

• Gọi \(A H \bot B C\)
• \(H\) là chân đường cao từ A xuống BC
• \(M\) là hình chiếu của H lên AB
• \(K\) là hình chiếu của H lên AC

---

✳️ Bước 2: Tọa độ hóa (tùy chọn – hỗ trợ hình dung và tính toán):

Giả sử:

• Đặt \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• Vì tam giác vuông tại A, ta đặt:
• • \(B \left(\right. 12 , 0 \left.\right)\) (nằm trên trục hoành)
  • \(C \left(\right. 0 , 16 \left.\right)\)

→ Khi đó:

• \(A B = 12\)
• \(A C = 16\)
• \(B C = 20\) (đã đúng với phần a)

---

✳️ Bước 3: Tính AH

Dùng công thức đường cao trong tam giác vuông:

\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = \boxed{9.6 \textrm{ } \text{cm}}\)

---

✳️ Bước 4: Tính BM và CK

Ta sẽ dùng công thức lượng giác để biểu diễn BM và CK.

Tam giác ABH vuông tại H:

• Góc \(\angle A B H = \angle B\)
• Trong tam giác vuông ABH:
  \(B M = A H \cdot cos ⁡ B\)

Tam giác ACH vuông tại H:

• Góc \(\angle A C H = \angle C\)
• Trong tam giác vuông ACH:
  \(C K = A H \cdot sin ⁡ B\)

(Vì tam giác vuông tại A, nên \(\angle C = 90^{\circ} - B\), nên \(cos ⁡ C = sin ⁡ B\))

---

✳️ Tính tổng:

\(B M + C K = A H \cdot \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Nhưng đề bài yêu cầu:

\(B M + C K = B C \cdot \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

---

✳️ Liên hệ \(A H\) với \(cos ⁡ B\) và \(sin ⁡ B\):

Ta biết:

\(cos ⁡ B = \frac{A B}{B C} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \Rightarrow A B = B C \cdot cos ⁡ B\)\(sin ⁡ B = \frac{A C}{B C} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \Rightarrow A C = B C \cdot sin ⁡ B\)

Rồi:

\(A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{B C \cdot cos ⁡ B \cdot B C \cdot sin ⁡ B}{B C} = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B\)

---

Thay vào biểu thức:

\(B M = A H \cdot cos ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \cdot cos ⁡ B = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B\)\(C K = A H \cdot sin ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \cdot sin ⁡ B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B\)

---

Tổng lại:

\(B M + C K = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B + B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Nhưng đề bài là:

\(B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)\)

Nhận xét:

Dùng đẳng thức đáng nhớ:

\(a^{3} + b^{3} = \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. a^{2} - a b + b^{2} \left.\right)\)

Không giống trực tiếp.

Nhưng:

Từ trước:

\(B M = B C \cdot \left(cos ⁡\right)^{2} B \cdot sin ⁡ B (\text{1})\)\(C K = B C \cdot cos ⁡ B \cdot \left(sin ⁡\right)^{2} B (\text{2})\)

Tổng:

\(B M + C K = B C \cdot cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right)\)

Mặt khác:

\(\left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B = \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right) \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{2} B - cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B + \left(sin ⁡\right)^{2} B \left.\right) = \left(\right. cos ⁡ B + sin ⁡ B \left.\right) \left(\right. 1 - cos ⁡ B \cdot sin ⁡ B \left.\right)\)

⇒ Nhận thấy đề bài không yêu cầu rút gọn, chỉ cần biến đổi khéo biểu thức ban đầu về vế phải.

---

✅ Kết luận:

\(\boxed{B M + C K = B C \left(\right. \left(cos ⁡\right)^{3} B + \left(sin ⁡\right)^{3} B \left.\right)}\)

Chứng minh hoàn tất.

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

Tham khảo