Question

[℗©UwU♜☢️☣️💤]

Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\) (a,b,c, d∈ Z, b>0, d > 0). Chứng minh ad < bc khi và chỉ khi \(\frac{a}{b}\) <\(\frac{c}{d}\)

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

\(\frac{a}{b}\) < \(\frac{c}{d}\) (a; b; c; d ∈ Z; b >0; d > 0)

\(\frac{c}{d}>\frac{a}{b}\)

⇔\(\frac{c}{d}\) - \(\frac{a}{b}\) > 0

⇔\(\frac{cb-ad}{bd}\) > 0

Vì b; d> 0; \(\frac{cb-ad}{bd}\) > 0

nên \(\frac{cb-ad}{bd}\) > 0 ⇔ cb - ad > 0

⇔ cb > ad (đpcm)

Answer 2

[Trần Hoàng Trung]

ChatGPT said:

Ta cần chứng minh rằng:

\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{khi}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{ch}ỉ\&\text{nbsp};\text{khi} a d < b c\)

với các điều kiện: \(a , b , c , d \in \mathbb{Z}\), \(b > 0\), \(d > 0\).

---

1. Chứng minh chiều thuận:

Giả sử \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\).

• Ta sẽ bắt đầu từ bất đẳng thức \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) và nhân chéo để đưa ra kết luận:

\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d < c \cdot b\)

Do \(b > 0\) và \(d > 0\) (theo giả thiết), việc nhân hai vế của bất đẳng thức với \(b\) và \(d\) không thay đổi chiều bất đẳng thức.

Vậy ta có:

\(a d < b c\)

Vậy, khi \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\), thì \(a d < b c\).

---

2. Chứng minh chiều ngược lại:

Giả sử \(a d < b c\).

• Ta cần chứng minh rằng \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\).
• Bất đẳng thức \(a d < b c\) có thể viết lại dưới dạng:

\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)

Do \(b > 0\) và \(d > 0\), ta có thể chia cả hai vế của bất đẳng thức \(a d < b c\) cho \(b d\) mà không thay đổi chiều bất đẳng thức.

Vậy ta có:

\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\)

---

Kết luận:

Ta đã chứng minh rằng:

\(\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{khi}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{ch}ỉ\&\text{nbsp};\text{khi} a d < b c\)