Question

[Trinh Tong Ngoc]

Bài 3: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ dây BD của (O) song song với OA.

a) Chứng minh rằng O, A, B, C cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm của đường tròn này.

b) Chứng minh: C, O, D thẳng thàng.

c) Gọi E là giao điểm của AD và đường tròn (O) (E khác D). H là giao điểm của OA và BC. Chứng minh rằng góc AHE bằng với góc OED từ đó suy ra BC là đường phân giác của góc DHE.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác OBAC có \(\hat{OBA}+\hat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBAC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OA

=>O,B,A,C cùng thuộc một đường tròn

Tâm là trung điểm của OA

b: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC

mà OA//BD

nên BD⊥BC

=>B nằm trên đường tròn đường kính CD

mà B,C,D cùng thuộc (O)

nên CD là đường kính của (O)

=>C,O,D thẳng hàng

c: Xét (O) có

ΔCED nội tiếp

CD là đường kính

Do đó: ΔCED vuông tại E

=>CE⊥AD tại E

Xét ΔACD vuông tại C có CE là đường cao

nên \(AE\cdot AD=AC^2\left(4\right)\)

Xét ΔACO vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AC^2\) (3)

Từ (3),(4) suy ra \(AH\cdot AO=AE\cdot AD\)

=>\(\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}\)

Xét ΔAHE và ΔADO có

\(\frac{AH}{AD}=\frac{AE}{AO}\)

góc HAE chung

Do đó: ΔAHE~ΔADO

=>\(\hat{AHE}=\hat{ADO}=\hat{ODE}=\hat{OED}\)

Ta có: \(\hat{AHE}=\hat{ADO}\)

\(\hat{AHE}+\hat{OHE}=180^0\) (hai góc kề bù)

Do đó: \(\hat{OHE}+\hat{ODE}=180^0\)

=>OHED là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{OHD}=\hat{OED}\)

mà \(\hat{OED}=\hat{AHE}\)

nên \(\hat{AHE}=\hat{OHD}\)

Ta có: \(\hat{AHE}+\hat{EHB}=\hat{BHA}=90^0\)

\(\hat{OHD}+\hat{DHB}=\hat{OHB}=90^0\)

mà \(\hat{AHE}=\hat{OHD}\)

nên \(\hat{EHB}=\hat{DHB}\)

=>HB là phân giác của góc DHE

Answer 2

[Bùi Hoài Nam]

Hỏi lắm thế