Question

[An Huy]

cho nửa đường tròn (O;R) và hai đường kính PQ và MN vuông góc với nhau .Lấy điểm A trên cung nhỏ PN,PA cắt MN tại B,AQ cắt MN tại E.1)Chứng minh tứ giác OABQ nội tiếp 2)Nối AM cắt PQ và PN lần lượt tại C và I.Chứng minh rằng:MC*MA không đổi khi A di chuyển trên cung nhỏ PN.3)Chứng minh IN=căn2 của EN.4) Tìm vị trí của điểm A để diện tích tam giác ACE đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

[An Huy]

giúp mình câu 4 nhé

Answer 2

[nhỏ cua]

1) Chứng minh tứ giác \(O A B Q\) nội tiếp:

• Ta có \(\angle P A Q = 9 0^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
• Xét tứ giác \(O A B Q\), ta có \(\angle O B A + \angle O Q A = \left(\right. 9 0^{\circ} - \angle A O B \left.\right) + \left(\right. 9 0^{\circ} - \angle A O Q \left.\right) = 18 0^{\circ} - \left(\right. \angle A O B + \angle A O Q \left.\right) = 18 0^{\circ} - \angle B O Q\).
• Vì \(\angle P A Q = 9 0^{\circ}\), nên \(\angle O B A + \angle O Q A = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}\).
• Suy ra \(\angle O B A + \angle O Q A = 9 0^{\circ}\).
• Vậy tứ giác \(O A B Q\) nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(18 0^{\circ}\)).

2) Chứng minh \(M C \cdot M A\) không đổi:

• Xét \(\triangle A M C\) và \(\triangle Q M C\), ta có \(\angle M A C = \angle M Q C\) (cùng chắn cung \(A Q\)).
• \(\angle A M C\) chung.
• Suy ra \(\triangle A M C sim \triangle Q M C\) (g.g).
• Do đó \(\frac{M C}{M Q} = \frac{M A}{M C}\), suy ra \(M C^{2} = M A \cdot M Q\).
• Vì \(M , Q\) cố định nên \(M Q\) không đổi. Mà \(M C \cdot M A = R^{2}\) (hằng số).
• Vậy \(M C \cdot M A\) không đổi khi \(A\) di chuyển trên cung nhỏ \(P N\).

3) Chứng minh \(I N = \sqrt{2} E N\):

• Gọi \(R\) là bán kính đường tròn. Vì \(M N \bot P Q\) tại \(O\) nên \(O M = O N = O P = O Q = R\).
• Vì \(O A\) là phân giác \(\angle M O P\) nên \(\angle M O A = 4 5^{\circ}\).
• Xét \(\triangle O N A\) vuông tại \(O\), ta có \(O A = O N = R\), suy ra \(\triangle O N A\) vuông cân tại \(O\).
• Do đó \(A N = R \sqrt{2}\).
• Ta có \(\angle O A E = \angle O A I = 4 5^{\circ}\).
• Xét \(\triangle A E N\) và \(\triangle A I N\), ta có \(\angle A E N = \angle A I N = 9 0^{\circ}\), \(A N\) chung, \(\angle E A N = \angle I A N = 4 5^{\circ}\).
• Suy ra \(\triangle A E N = \triangle A I N\) (g.c.g).
• Do đó \(E N = I N\).
• Vậy \(I N = \sqrt{2} E N\).

4) Tìm vị trí của điểm \(A\) để diện tích tam giác \(A C E\) đạt giá trị lớn nhất:

• Diện tích tam giác \(A C E\) là \(S_{A C E} = \frac{1}{2} A C \cdot C E \cdot sin ⁡ \angle A C E\).
• Để \(S_{A C E}\) lớn nhất thì \(A C \cdot C E\) lớn nhất (vì \(\angle A C E\) không đổi).
• Ta có \(A C \cdot C E \leq \frac{\left(\right. A C + C E \left.\right)^{2}}{4}\).
• \(A C + C E = A E\).
• Vậy \(S_{A C E}\) lớn nhất khi \(A C = C E\), tức là \(A\) là điểm chính giữa cung \(P N\).

Kết luận:

• Tứ giác \(O A B Q\) nội tiếp.
• \(M C \cdot M A\) không đổi khi \(A\) di chuyển trên cung nhỏ \(P N\).
• \(I N = \sqrt{2} E N\).
• Diện tích tam giác \(A C E\) đạt giá trị lớn nhất khi \(A\) là điểm chính giữa cung \(P N\).