Question

[Trần Mai Lan]

kiú vs!!!!

cho x,y thuộc Z và x mũ 2 cộng y mũ 2 chia hết cho 19. chứng minh x và y chia hết cho 19

Answer 1

[nhỏ cua]

Để chứng minh rằng x và y chia hết cho 19 khi x,y∈Z và x2+y2 chia hết cho 19, ta sẽ sử dụng phương pháp xét số dư modulo 19.

Giả sử x2+y2≡0(mod19).

Ta lập bảng bình phương các số dư khi chia cho 19: 02≡0(mod19) 12≡1(mod19) 22≡4(mod19) 32≡9(mod19) 42≡16(mod19) 52≡25≡6(mod19) 62≡36≡17(mod19) 72≡49≡11(mod19) 82≡64≡7(mod19) 92≡81≡5(mod19)

Lưu ý rằng k2≡(19−k)2(mod19), nên ta chỉ cần xét đến 92. Tập hợp các số dư của bình phương một số nguyên khi chia cho 19 là S={0,1,4,5,6,7,9,11,16,17}.

Ta cần tìm cặp (a,b)∈S×S sao cho a+b≡0(mod19). Các trường hợp có thể xảy ra:

• Nếu x2≡0(mod19) thì y2≡0(mod19). Nếu x2≡0(mod19), thì x chia hết cho 19 (vì 19 là số nguyên tố và x2 chia hết cho 19). Nếu y2≡0(mod19), thì y chia hết cho 19.
• Nếu x2≡0(mod19). Ta xét các cặp tổng bằng 19 hoặc bội của 19:
• • 1+18 (18 không có trong S)
  • 4+15 (15 không có trong S)
  • 5+14 (14 không có trong S)
  • 6+13 (13 không có trong S)
  • 7+12 (12 không có trong S)
  • 9+10 (10 không có trong S)
  • 11+8 (8 không có trong S)
  • 16+3 (3 không có trong S)
  • 17+2 (2 không có trong S)
  • Các số khác không thể tạo ra tổng bằng 0 modulo 19 trừ trường hợp cả hai số đều bằng 0.

Trong tập hợp các số dư S, chỉ có một trường hợp mà tổng của hai số dư là 0 modulo 19, đó là khi cả hai số dư đều là 0. Tức là x2≡0(mod19) và y2≡0(mod19).

Vì 19 là số nguyên tố, nếu x2 chia hết cho 19 thì x phải chia hết cho 19. Tương tự, nếu y2 chia hết cho 19 thì y phải chia hết cho 19.

Do đó, nếu x2+y2 chia hết cho 19, thì x và y đều phải chia hết cho 19.

Answer 2

[14456125]

\(\left(x^2+y^2\right)\vdots19\)

Do \(19\) là số nguyên tố nên \(x^2\vdots19\) và \(y^2\vdots19\) thì \(\left(x^2+y^2\right)\vdots19\) .

Lại có:

\(\begin{cases}x^2\vdots19\Rightarrow x\vdots19\\ y^2\vdots19\Rightarrow y\vdots19\end{cases}\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\vdots19\)

Vậy \(\left(x+y\right)\vdots19\left(đpcm\right)\)