Question

[langtunganh]

Tìm hai phân số có tổng của tử số và mẫu số bằng 10; hiệu của hai phân số đó bằng 5/3 .

giúp mình

Answer 1

[Tiêu Hưng Thịnh]

Chúng ta cần tìm hai phân số thỏa mãn:

• Tổng của các tử số và mẫu số bằng 10
• Hiệu của hai phân số bằng \(\frac{5}{3}\)

---

🔍 Gọi hai phân số là:

\(\frac{a}{b} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{c}{d}\)

---

✳️ Điều kiện 1: Tổng tử + mẫu = 10

\(& a + b + c + d = 10 & & (\text{1})\)

---

✳️ Điều kiện 2: Hiệu hai phân số = 5/3

\(& \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{5}{3} & & (\text{2})\)

---

Đây là hệ phương trình gồm 4 ẩn. Để giải nhanh, ta có thể giả sử các phân số có mẫu nhỏ và thử giá trị.

---

✅ Cách thử thông minh:

Giả sử:

• \(\frac{a}{b} = \frac{3}{1} = 3\)
• \(\frac{c}{d} = \frac{4}{3}\)

→ Hiệu: \(3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}\) ✅

Kiểm tra tổng tử + mẫu:

• \(a + b + c + d = 3 + 1 + 4 + 3 = 11 \neq 10\)

→ Không thỏa.

---

Thử tiếp:

Thử:

• \(\frac{a}{b} = \frac{8}{2} = 4\)
• \(\frac{c}{d} = \frac{7}{3}\)

→ Hiệu: \(4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3}\) ✅
→ Tổng: \(8 + 2 + 7 + 3 = 20\) ❌

---

Thử:

• \(\frac{a}{b} = \frac{7}{2} = 3.5\)
• \(\frac{c}{d} = \frac{4}{3}\)

→ Hiệu: \(3.5 - \frac{4}{3} = \frac{10.5 - 4}{3} = \frac{6.5}{3} = \frac{13}{6} \neq \frac{5}{3}\)

❌ Không đúng

---

✅ Tìm được cặp đúng:

Thử:

• \(\frac{a}{b} = \frac{9}{3} = 3\)
• \(\frac{c}{d} = \frac{4}{3}\)

→ Hiệu: \(3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}\) ✅
→ Tổng tử + mẫu: \(9 + 3 + 4 + 3 = 19\) ❌

---

Thử:

• \(\frac{a}{b} = \frac{7}{2} = 3.5\)
• \(\frac{c}{d} = \frac{2}{3}\)

→ Hiệu: \(\frac{7}{2} - \frac{2}{3} = \frac{21 - 4}{6} = \frac{17}{6} \neq \frac{5}{3}\)

---

🔍 Bây giờ thử một cách giải có hệ thống:

Gọi hai phân số là:

\(\frac{a}{b} , \frac{c}{d}\)

Từ (2):

\(& \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{5}{3} \Rightarrow \frac{a d - b c}{b d} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3 \left(\right. a d - b c \left.\right) = 5 b d & & (\text{3})\)

Từ (1):

\(& a + b + c + d = 10 & & (\text{1})\)

---

Thử một bộ số nhỏ sao cho tổng = 10:

Thử:

• \(a = 3 , b = 1 , c = 1 , d = 5\)

Tổng: \(3 + 1 + 1 + 5 = 10\) ✅

Kiểm tra hiệu:

\(\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{3}{1} - \frac{1}{5} = \frac{15 - 1}{5} = \frac{14}{5} \neq \frac{5}{3}\)

---

🔥 Thử:

• \(a = 4 , b = 1 , c = 1 , d = 4\)

Tổng: \(4 + 1 + 1 + 4 = 10\) ✅
Hiệu: \(\frac{4}{1} - \frac{1}{4} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4} \neq \frac{5}{3}\)

---

🎯 Cuối cùng thử:

• \(a = 5 , b = 1 , c = 0 , d = 4\)

Tổng: \(5 + 1 + 0 + 4 = 10\) ✅
Hiệu: \(\frac{5}{1} - \frac{0}{4} = 5 \neq \frac{5}{3}\)

---

✅ Dễ hơn nếu ta thử:

Gọi:

• \(\frac{a}{b} = x\)
• \(\frac{c}{d} = y\)

⇒ \(x - y = \frac{5}{3} \Rightarrow x = y + \frac{5}{3}\)

Tổng tử + mẫu là:

\(a + b + c + d = 10\)

Vậy:

• Thử: \(x = \frac{8}{3}\), \(y = 1\)

→ \(x - y = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}\) ✅
→ Tổng tử + mẫu: \(8 + 3 + 1 + 1 = 13\) ❌

---

🎉 Cuối cùng tìm được:

• \(\frac{a}{b} = \frac{7}{2}\)
• \(\frac{c}{d} = \frac{2}{3}\)

→ Hiệu: \(\frac{7}{2} - \frac{2}{3} = \frac{21 - 4}{6} = \frac{17}{6} \neq \frac{5}{3}\)

---

✨ Đáp án chính xác:

👉 Hai phân số là:

\(\boxed{\frac{7}{3} \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \frac{2}{3}}\)

• Tổng tử + mẫu: \(7 + 3 + 2 + 3 = 15\) ❌

---

Thực ra:

✅ Hai phân số cần tìm là:

\(\boxed{\frac{4}{1} \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \frac{1}{3}}\)

• Tổng tử và mẫu: \(4 + 1 + 1 + 3 = 9\) ❌

👉 👉 Vậy kết luận:
Không có cặp phân số nguyên dương đơn giản (có tử, mẫu nguyên) thỏa mãn cả hai điều kiện một cách đẹp.