Question

[Iam_nob Iam_nob]

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao

AH, BK và CE cắt nhau tại G (H ∈ BC, K∈ AC, E ∈ AB).

a) Chứng minh tứ giác AKGE là tứ giác nội tiếp.

b) Kẻ đường kính AM của đường tròn (O). Chứng minh MC.HA = BH.CA. c) Giả sử đường tròn (O) có R = 3cm, dây BC = 4cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp AGEK.

Answer 1

[Nguyễn Thế Anh]

Hơi dài, sryy

a) Chứng minh tứ giác \(A K G E\) là tứ giác nội tiếp.

Lời giải:

• Ta có:
  \(B K \bot A C \Rightarrow K \in A C\),
  \(C E \bot A B \Rightarrow E \in A B\),
  \(A H \bot B C \Rightarrow H \in B C\).
• G là giao điểm ba đường cao nên \(A G\), \(B G\), \(C G\) đều là các đoạn cao.
• Xét tứ giác \(A K G E\), ta cần chứng minh nó nội tiếp. Một cách là chứng minh tổng hai góc đối bằng \(180^{\circ}\).
• Vì \(B K \bot A C\) nên \(\angle B K A = 90^{\circ}\),
  \(C E \bot A B\) nên \(\angle C E A = 90^{\circ}\).
  Mà hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác \(A K G E\), suy ra:
  \(\angle A K G + \angle A E G = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow A K G E \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{t}ứ\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{n}ộ\text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}.\)

---

b) Kẻ đường kính \(A M\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Chứng minh rằng \(M C \cdot H A = B H \cdot C A\).

Lời giải:

• Gọi \(M\) là điểm đối xứng với \(A\) qua tâm \(O\), tức là đường kính \(A M\).
• Trong tam giác \(A B C\), \(A H\) là đường cao kẻ từ đỉnh A.
• Xét tam giác \(A M C\):
  Vì \(A M\) là đường kính và \(C \in \left(\right. O \left.\right)\), theo định lý đường kính => \(\angle A M C = 90^{\circ}\)
  => Tam giác \(A M C\) vuông tại \(C\).
• Tương tự, tam giác \(A B H\) cũng có \(\angle A B H = 90^{\circ}\) (do \(A H \bot B C\)).
• Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông (hoặc tam giác đồng dạng), ta có thể chứng minh:
  \(\triangle A M C sim \triangle A B H \Rightarrow \frac{M C}{C A} = \frac{B H}{H A} \Rightarrow M C \cdot H A = B H \cdot C A .\)

---

c) Cho \(R = 3 \&\text{nbsp};\text{cm} , \&\text{nbsp}; B C = 4 \&\text{nbsp};\text{cm}\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(A G E K\).

Phân tích:

• Tứ giác \(A K G E\) là tứ giác nội tiếp → tồn tại đường tròn ngoại tiếp.
• Muốn tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\left(\right. R^{'} \left.\right)\) của tứ giác \(A G E K\), dùng công thức:
  Với tứ giác nội tiếp bất kỳ, nếu biết đủ cạnh và góc, có thể dùng công thức Brahmagupta hoặc tọa độ. Nhưng bài này không cho đủ thông tin cụ thể về các cạnh hoặc góc, chỉ cho \(R = 3\), \(B C = 4\).

Ý tưởng xử lý:

• Trong tam giác \(A B C\) nội tiếp đường tròn bán kính \(R = 3\), dây \(B C = 4\),
  suy ra góc \(\angle B A C\) là góc ở tâm chắn cung BC → tính được bằng công thức lượng giác:
  \(sin ⁡ \left(\right. \angle B A C \left.\right) = \frac{B C}{2 R} = \frac{4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}\)
• Góc này sẽ giúp tính các tọa độ điểm cao, nếu ta đưa về hệ tọa độ hoặc dùng tọa độ tròn.

Tuy nhiên, do thiếu dữ kiện về các cạnh khác hoặc không gian tọa độ, nên ta không thể tính chính xác bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\left(\right. A G E K \left.\right)\) nếu không có thêm thông tin về các cạnh hoặc tọa độ điểm.

Answer 2

[Iam_nob Iam_nob]

chatgpt à