Question

[Bùi Gia Linh]

tìm số nguyên tố p sao cho p^2+23 có đúng 6 ước nguyên dương

Answer 1

[Gia Bao]

Nguyễn Trung Đông thân mến,

Bạn hỏi về bài toán: "Tìm số nguyên tố p sao cho số \(p^{2} + 23\) có đúng 6 ước nguyên dương."

Để giải bài này, ta cần hiểu cách tính số ước nguyên dương của một số tự nhiên.

Bước 1: Tính số ước nguyên dương của một số

• Nếu một số \(n\) được phân tích thành thừa số nguyên tố dưới dạng:
  \(n = p_{1}^{m_{1}} \times p_{2}^{m_{2}} \times \hdots \times p_{k}^{m_{k}}\)
  thì số ước nguyên dương của \(n\) là:
  \(\left(\right. m_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. m_{2} + 1 \left.\right) \hdots \left(\right. m_{k} + 1 \left.\right)\)

Bước 2: Áp dụng cho bài toán

• Ta cần tìm số nguyên tố \(p\) sao cho \(p^{2} + 23\) có đúng 6 ước nguyên dương.
• Số 6 có thể phân tích thành tích các số nguyên dương như: \(6 = 6 \times 1\) hoặc \(6 = 3 \times 2\).
• Điều này có nghĩa \(p^{2} + 23\) có thể là:
• • Lũy thừa bậc 5 của một số nguyên tố (vì số ước là 6 nếu số đó có dạng \(q^{5}\)).
  • Hoặc tích của hai số nguyên tố với số mũ sao cho tích số ước là 6, ví dụ \(\left(\right. 2 + 1 \left.\right) \left(\right. 1 + 1 \left.\right) = 3 \times 2 = 6\), tức là \(p^{2} + 23 = a^{2} \times b\) với \(a , b\) là số nguyên tố khác nhau.

Bước 3: Thử các giá trị nguyên tố \(p\) nhỏ

• Thử \(p = 2\):
  \(p^{2} + 23 = 4 + 23 = 27 = 3^{3}\)
  Số ước của 27 là \(3 + 1 = 4\), không phải 6.
• Thử \(p = 3\):
  \(9 + 23 = 32 = 2^{5}\)
  Số ước của 32 là \(5 + 1 = 6\) — thỏa mãn điều kiện.
• Thử \(p = 5\):
  \(25 + 23 = 48 = 2^{4} \times 3\)
  Số ước của 48 là \(\left(\right. 4 + 1 \left.\right) \left(\right. 1 + 1 \left.\right) = 5 \times 2 = 10\), không phải 6.
• Thử \(p = 7\):
  \(49 + 23 = 72 = 2^{3} \times 3^{2}\)
  Số ước là \(\left(\right. 3 + 1 \left.\right) \left(\right. 2 + 1 \left.\right) = 4 \times 3 = 12\), không phải 6.
• Thử \(p = 11\):
  \(121 + 23 = 144 = 2^{4} \times 3^{2}\)
  Số ước là \(\left(\right. 4 + 1 \left.\right) \left(\right. 2 + 1 \left.\right) = 5 \times 3 = 15\), không phải 6.

Kết luận:

Chỉ có \(p = 3\) thỏa mãn điều kiện để \(p^{2} + 23\) có đúng 6 ước nguyên dương, vì:

\(3^{2} + 23 = 32 = 2^{5}\)

và số ước của 32 là 6.

Nếu bạn muốn tôi giải thích thêm về cách tính số ước hoặc các bước thử khác, hãy hỏi nhé!