Question

[Tran Viet Thanh]

Bài 4 (2,5 điểm). Cho AABC vuông tại A, đường cao AH a) Chứng minh AHBA# AABC, từ đó suy ra AHAB-BILAC. b) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại E. Biết BH = 3cm, AB = 5cm. Tính độ dài các cạnh AE, HE. c) Tia phân giác của góc HAC cất HC tại F. Chứng minh rằng: EF //AC.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{HBA}\) chung

Do đó: ΔHBA~ΔABC

=>\(\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{HA}{AC}\)

=>\(BA\cdot AC=AH\cdot BC\)

b: ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HA=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

Xét ΔABH có BE là phân giác

nên \(\dfrac{EA}{AB}=\dfrac{EH}{HB}\)

=>\(\dfrac{EA}{5}=\dfrac{EH}{3}\)

mà EA+EH=AH=4cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{EA}{5}=\dfrac{EH}{3}=\dfrac{EA+EH}{5+3}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}EA=5\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}=2,5\left(cm\right)\\EA=3\cdot\dfrac{1}{2}=1,5\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

c: Ta có: \(\widehat{BAF}+\widehat{CAF}=\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{BFA}+\widehat{HAF}=90^0\)(ΔAHF vuông tại H)

mà \(\widehat{CAF}=\widehat{HAF}\)(AF là phân giác của góc HAC)

nên \(\widehat{BAF}=\widehat{BFA}\)

=>ΔBAF cân tại B

mà BE là đường phân giác

nên BE\(\perp\)AF

Xét ΔAFB có

BE,AH là các đường cao

BE cắt AH tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔAFB

=>FE\(\perp\)AB

mà AC\(\perp\)AB

nên FE//AC

Answer 2

[Nguyễn Đoàn Gia Tú]

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

• a) Chứng minh AHBA đồng dạng với AABC, suy ra AHAB = BILAC.
• • Xét tam giác AHB và tam giác CAB có:
  • • Góc AHB = góc CAB = 90 độ
    • Góc B chung
  • Suy ra tam giác AHB đồng dạng với tam giác CAB (g.g)
  • Suy ra AH/CA = AB/BC
  • Suy ra AH.BC = AB.AC
  • Suy ra AHAB = BILAC.
• b) Tia phân giác của góc ABC cắt AH tại E. Biết BH = 3cm, AB = 5cm. Tính độ dài các cạnh AE, HE.
• • Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABH vuông tại H, ta có:
  • • AH^2 = AB^2 - BH^2 = 5^2 - 3^2 = 16
    • Suy ra AH = 4cm
  • Vì BE là tia phân giác của góc ABC nên AE/AB = HE/HB (tính chất đường phân giác trong tam giác)
  • Suy ra AE/5 = HE/3
  • Áp dụng định lý Pitago vào tam giác ABE vuông tại A, ta có:
  • • AB^2 = AE^2 + BE^2
    • 5^2 = AE^2 + (AE * 5/3)^2
    • 25 = AE^2 (1 + 25/9)
    • 25 = AE^2 * 34/9
    • AE^2 = 225/34
    • AE = 15/√34 cm
  • Suy ra HE = AE * 3/5 = 9/√34 cm
• c) Tia phân giác của góc HAC cắt HC tại F. Chứng minh rằng: EF // AC.
• • Vì CF là tia phân giác của góc HAC nên AF/AC = HF/HC (tính chất đường phân giác trong tam giác)
  • Vì EF // AC nên AE/AB = EF/BC (định lý Ta-lét)
  • Suy ra EF/BC = HF/HC
  • Suy ra tam giác EFC đồng dạng với tam giác BHC (c.g.c)
  • Suy ra góc FEC = góc HBC
  • Suy ra EF // AC.