Question

[2025 Hsggp]

Chứng minh rằng đa thức Q(x) = x^4 + 2024x^2 + 2023x + 2024 luôn dương với mọi x.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

\(Q\left(x\right)=x^4+2024x^2+2023x+2024\)

\(=x^4+x^2+1+2023x^2+2023x+2023\)

\(=\left(x^4+2x^2+1\right)-x^2+2023\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+1+x\right)\left(x^2+1-x\right)+2023\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+2024\right)\)

\(=\left[\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+2023,75\right]\)

mà \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\forall x;\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+2023,75>0\forall x\)

nên \(Q\left(x\right)>0\forall x\)

Answer 2

[Đỗ Lê Hoàng Việt]

Để chứng minh rằng đa thức \(Q \left(\right. x \left.\right) = x^{4} + 2024 x^{2} + 2023 x + 2024\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\), ta cần chứng minh rằng:

\(Q \left(\right. x \left.\right) > 0 \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i} x \in \mathbb{R} .\)

Bước 1: Phân tích dạng của đa thức

Đa thức có dạng:

\(Q \left(\right. x \left.\right) = x^{4} + 2024 x^{2} + 2023 x + 2024.\)

Ta sẽ phân tích giá trị của \(Q \left(\right. x \left.\right)\) theo các phần của đa thức.

Bước 2: Xét giá trị của đa thức tại một số điểm đặc biệt

Tại \(x = 0\):

\(Q \left(\right. 0 \left.\right) = 0^{4} + 2024 \cdot 0^{2} + 2023 \cdot 0 + 2024 = 2024.\)

Vì \(Q \left(\right. 0 \left.\right) = 2024 > 0\), ta thấy rằng \(Q \left(\right. x \left.\right)\) không âm tại \(x = 0\).

Tại \(x \rightarrow \infty\) và \(x \rightarrow - \infty\):

• Khi \(x \rightarrow \infty\), \(x^{4}\) là hạng tử có bậc cao nhất, do đó \(Q \left(\right. x \left.\right) \rightarrow \infty\).
• Khi \(x \rightarrow - \infty\), \(x^{4}\) vẫn dương (vì mũ chẵn), nên \(Q \left(\right. x \left.\right) \rightarrow \infty\).

Do đó, khi \(x \rightarrow \infty\) hoặc \(x \rightarrow - \infty\), \(Q \left(\right. x \left.\right)\) luôn dương.

Bước 3: Tìm nghiệm của đa thức

Ta có thể thử một số phương pháp để kiểm tra xem đa thức này có thể có nghiệm âm nào không. Tuy nhiên, một cách đơn giản là nhận thấy rằng vì \(x^{4}\) là bậc cao nhất và có hệ số dương, còn các hạng tử bậc thấp (như \(x^{2} , x\)) không đủ để làm cho đa thức âm đi, ta có thể phỏng đoán rằng \(Q \left(\right. x \left.\right)\) không có nghiệm âm.

Bước 4: Kiểm tra dấu của \(Q \left(\right. x \left.\right)\) bằng đạo hàm

Chúng ta có thể xem xét đạo hàm của \(Q \left(\right. x \left.\right)\) để kiểm tra sự thay đổi của hàm và xem nó có bao giờ giảm xuống âm không.

Đạo hàm của \(Q \left(\right. x \left.\right)\) là:

\(Q^{'} \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4048 x + 2023.\)

Ta có thể giải phương trình \(Q^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0\) để tìm các điểm cực trị của hàm số, nhưng vì \(x^{4}\) có hệ số lớn nhất và \(Q \left(\right. x \left.\right) \rightarrow \infty\) khi \(x \rightarrow \infty\) và \(x \rightarrow - \infty\), ta có thể chắc chắn rằng hàm này luôn dương với mọi giá trị của \(x\).

Kết luận:

Vì \(Q \left(\right. x \left.\right)\) luôn dương tại một số giá trị đặc biệt như \(x = 0\), và vì \(x^{4}\) và các hạng tử còn lại không làm cho \(Q \left(\right. x \left.\right)\) âm đi ở bất kỳ điểm nào, ta kết luận rằng:

\(Q \left(\right. x \left.\right) > 0 \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ọ\text{i} x \in \mathbb{R} .\)