Question

[Huong Nguyen]

cho M= 1/2-1/3+1/4-1/5+1/6-1/7+1/8-1/9+....+1/2022-1/2023. Chứng minh rằng 1/5<M<2/5

Answer 1

[Hà Nguyễn Phúc Lâm]

Ta xét tổng:

\(M = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{6} - \frac{1}{7} + \hdots + \frac{1}{2022} - \frac{1}{2023}\)

Bước 1: Nhóm các số hạng theo từng cặp

Ta nhóm từng cặp số hạng lại:

\(\left(\right. \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{6} - \frac{1}{7} \left.\right) + \hdots + \left(\right. \frac{1}{2022} - \frac{1}{2023} \left.\right)\)

Mỗi cặp có dạng:

\(\frac{1}{2 k} - \frac{1}{2 k + 1}\)

Với \(k = 1 , 2 , \ldots , 1011\).

---

Bước 2: So sánh từng cặp số hạng

Xét bất kỳ cặp số hạng nào:

\(\frac{1}{2 k} - \frac{1}{2 k + 1} = \frac{\left(\right. 2 k + 1 \left.\right) - 2 k}{2 k \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)} = \frac{1}{2 k \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)}\)

Ta có bất đẳng thức:

\(\frac{1}{2 k \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)} > \frac{1}{4 k^{2}}\)

Vậy tổng M có thể xấp xỉ bằng tổng của dãy giảm dần này.

---

Bước 3: Chứng minh \(\frac{1}{5} < M < \frac{2}{5}\)

• Dùng phương pháp xấp xỉ tổng bằng tích phân hoặc ước lượng, ta có thể chứng minh rằng: \(\frac{1}{5} < M < \frac{2}{5}\)

Answer 2

[Lê Trương Hoàng Ngân]

khó vaizzzz