Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2=b^2+c^2\). CMR
a) \(a^m>b^m+c^m\) nếu m>2
b) \(a^m< b^m+c^m\) nếu m<2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
21 tháng 8 2018
ta có: x<y
\(\Rightarrow\frac{a}{m}< \frac{b}{m}\Rightarrow a< b\)
\(\Rightarrow a+a< b+a\)
\(\Rightarrow\frac{a+a}{2m}< \frac{a+b}{2m}\)
\(\Rightarrow\frac{2a}{2m}< \frac{a+b}{2m}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{m}< \frac{a+b}{2m}\Rightarrow x< z\) (1)
ta có: a<b ( cmt)
=> a + b < b+b
\(\Rightarrow\frac{a+b}{2m}< \frac{b+b}{2m}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{2m}< \frac{2b}{2m}=\frac{b}{m}\Rightarrow z< y\) (2)
Từ (1);(2) => x<z<y
TH
1
12 tháng 3 2016
\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\)=\(\frac{ad}{bd}\)<\(\frac{cb}{db}\)
Vì bd=bd suy ra ad<cd
Suy ra ĐPCM
Ngược lại
PT
1
2 tháng 1 2017
Ta có M = - a + b - b - c + a + c - a
= ( - a + a ) + ( b - b ) + ( - c + c ) - a
= 0 + 0 + 0 - a
= - a
Vì a < 0 => - a > 0
=> M > 0
VI
0
KK
12 tháng 5 2017
a) Áp dụng bất đẳng thức Schur với \(r=1\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\)
\(\Rightarrow3abc\ge a^2b+ca^2-a^3+ab^2+b^2c-b^3+c^2a+bc^2-c^3\)
\(\Rightarrow3abc\ge a^2\left(b+c-a\right)+b^2\left(a+c-b\right)+c^2\left(a+b-c\right)\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+b+b\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{b^2}.b^2}=3a\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^3}{c^2}+c+c\ge3b\\\dfrac{c^3}{a^2}+a+a\ge3c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}+2\left(a+b+c\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{c^2}+\dfrac{c^3}{a^2}\ge a+b+c\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c\)
c) Ta có \(abc=ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}=\dfrac{1}{a+c+2\left(b+c\right)}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{2\left(b+c\right)}\right]\)
Tương tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+2c+3a}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{2\left(a+c\right)}\right]\\\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{2\left(a+b\right)}\right]\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\right]\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\) ( 1 )
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) với a , b > 0
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Tượng tự ta có \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\\\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{8}\left[\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\right)\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{8}\left[\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{8}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\le\dfrac{3}{16}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{16}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{b+2c+3a}+\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{3}{16}\) ( đpcm )
Sử dụng tính đơn điệu của hàm mũ: hàm \(y=a^x\) nghịch biến khi \(0< a< 1\) và đồng biến khi \(a>1\)
\(a^2=b^2+c^2\Rightarrow\left(\dfrac{b}{a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< \dfrac{b}{a}< 1\\0< \dfrac{c}{a}< 1\end{matrix}\right.\) nên các hàm \(\left(\dfrac{b}{a}\right)^x\) và \(\left(\dfrac{c}{a}\right)^x\) đều nghịch biến
Xét: \(\dfrac{b^m+c^m}{a^m}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^m+\left(\dfrac{c}{a}\right)^m\) \(\)
- Khi \(m>2\Rightarrow\left(\dfrac{b}{a}\right)^m< \left(\dfrac{b}{a}\right)^2\) và \(\left(\dfrac{c}{a}\right)^m< \left(\dfrac{c}{a}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{b}{a}\right)^m+\left(\dfrac{c}{a}\right)^m< \left(\dfrac{b}{a}\right)^2+\left(\dfrac{c}{a}\right)^2=1\)
Hay \(\dfrac{b^m+c^m}{a^m}< 1\) \(\Rightarrow a^m>b^m+c^m\)
Câu b c/m tương tự, \(m< 2\) thì \(\left(\dfrac{b}{a}\right)^m>\left(\dfrac{b}{a}\right)^2...\)
Anh ơi! Hàm số mũ có tính đơn điệu như trên chỉ đối với mũ nguyên dương thôi ạ anh.