Tìm \(n\inℕ^∗\) để \(n^5+1⋮n^3+1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
18 tháng 7 2023
Em muốn nhanh thì em chia nhỏ câu hỏi ra để nhiều người trợ giúp cùng một lúc như vậy hiệu quả cao, chi tiết và nhanh chóng em nhé.
KN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 11 2023
Lời giải:
Để $n^4+n^3+1$ là scp $\Leftrightarrow A=4n^4+4n^3+4$ cũng phải là scp
Xét $A-(2n^2+n+1)^2=4n^4+4n^3+4-(2n^2+n+1)^2=-5n^2-2n+3\leq -5-2n+3=-2-2n<0$ với mọi $n\geq 1$
$\Rightarrow A< (2n^2+n+1)^2(1)$
Xét $A-(2n^2+n-1)^2=4n^4+4n^3+4-(2n^2+n-1)^2=3n^2+2n+3>0$ với mọi $n\geq 1$
$\Rightarrow A> (2n^2+n-1)^2(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow (2n^2+n-1)^2< A< (2n^2+n+1)^2$
$\Rightarrow A=(2n^2+n)^2$
$\Rightarrow (4n^4+4n^3+4)=(2n^2+n)^2$
$\Leftrightarrow 4-n^2=0$
$\Rightarrow n=2$
9 tháng 12 2018
Bài 1 :
Lý luận chung cho cả 2 câu a) và b) :
Vì giá trị tuyệt đối luôn lớn hơn hoặc bằng 0, mà tổng của chúng lại bằng 0
a) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-2y=0\\y-1=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
b) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-3=0\\x-2y-5=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=-1\end{cases}}\)
3 tháng 2 2023
số số hạng của tổng trên là:((2n-1)-1):2+1=n (số hạng)
Tổng m là:((2n-1)+1).n:2=n.n=n^2 là 1 số chính phương
Vậy m là 1 số chính phương
19 tháng 7 2020
a) Số số hạng là : \(\frac{\left(4n-4\right)}{4}+1=\frac{4\left(n-1\right)}{4}+1=n-1+1=n\)
Tổng của dãy trên là : \(\frac{\left(4+4n\right)\cdot n}{2}=2n\left(n+1\right)\)
Ta có : \(2n\left(n+1\right)=2964\)
=> \(n\left(n+1\right)=2964:2=1482=38\cdot39\)
=> n = 38
b) \(\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}+...+\frac{n}{2}=33\)
=> \(\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+\frac{3}{2}+...+\frac{n}{2}=33\)
=> \(\frac{1+2+3+...+n}{2}=33\)
=> \(1+2+3+...+n=66\)
Số số hạng là : \(\left(n-1\right):1+1=n\)
Tổng : \(\frac{\left(1+n\right)\cdot n}{2}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
=> \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}=66\)
=> \(n\left(n+1\right)=66\cdot2=132=11\cdot12\)
=> n = 11
P/S : K bt có đúng k nx
\(n^5+1⋮n^3+1\)
\(\Leftrightarrow n^5-n^3⋮n^3+1\)
\(\Leftrightarrow n^3\left(n^2-1\right)⋮n^3+1\)
Vì \(gcd\left(n^3,n^3+1\right)=1\) nên từ đây suy ra \(n^2-1⋮n^3+1\) (*)
Nếu \(n=1\) thì (*) thành \(0⋮2\) (thỏa mãn)
Nếu \(n\ge2\) thì (*) suy ra \(n^3+1\le n^2-1\)
\(\Leftrightarrow f\left(n\right)=n^3-n^2+2\le0\) (1)
Ta thấy \(f\left(n+1\right)-f\left(n\right)=\left(n+1\right)^3-\left(n+1\right)^2+2-n^3+n^2-2\)
\(=n^3+3n^2+3n+1-n^2-2n-1-n^3+n^2\)
\(=3n^2+n>0,\forall n\ge2\)
\(\Rightarrow f\left(n\right)\) là hàm số đồng biến trên \(ℕ_{\ge2}\) (cái này mình kí hiệu cho gọn thôi chứ bạn đừng viết vào bài làm nhé)
\(\Rightarrow f\left(n\right)\ge f\left(2\right)=6>0\)
Do đó (1) vô lý \(\Rightarrow n=1\) là giá trị duy nhất thỏa mãn ycbt.
\(\dfrac{n^5+1}{n^3+1}=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n^4-n^3+n^2-n+1\right)}{\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)}=\dfrac{n^4-n^3+n^2-n+1}{n^2-n+1}\)
\(=\dfrac{n^2\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)}{n^2-n+1}=n^2-\dfrac{n-1}{n^2-n+1}\)
Để \(n^5+1⋮n^3+1\Rightarrow\dfrac{n-1}{n^2-n+1}\in Z\)
- Với \(n=1\) thỏa mãn
- Với \(n>1\Rightarrow n^2-n>n^2-n=n\left(n-1\right)>n-1\)
\(\Rightarrow0< \dfrac{n-1}{n^2-n+1}< 1\) \(\Rightarrow\dfrac{n-1}{n^2-n+1}\notin Z\)
Vậy \(n=1\) là giá trị duy nhất thỏa mãn