Question

[títtt]

cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' và M,N,E,F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, BA, AA' , A'D'. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau

a) A'C' và BC

b) MN và EF

c) MN và BC

d) EF và CC'

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương

=>AA'//BB'//CC'//DD' và AA'=BB'=CC'=DD'

Xét tứ giác AA'C'C có 

AA'//CC'

AA'=CC'

Do đó: AA'C'C là hình bình hành

=>AC//A'C'

ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương

=>ABCD và A'B'C'D' là hình vuông

ABCD là hình vuông

=>AC là phân giác của góc BAD và CA là phân giác của góc BCD

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=45^0\) và \(\widehat{BCA}=\widehat{DCA}=45^0\)

\(\widehat{A'C';BC}=\widehat{AC;BC}=\widehat{ACB}=45^0\)

b: Xét ΔBAC có M,N lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC

Xét ΔA'AD' có

E,F lần lượt là trung điểm của AA',A'D'

=>EF là đường trung bình của ΔA'AD'

=>EF//AD'

ABCD.A'B'C'D là hình vuông

=>ADD'A' là hình vuông; DCC'D' là hình vuông
ABCD là hình vuông

=>\(AC=AB\cdot\sqrt{2}\)(1)

ADD'A' là hình vuông

=>\(AD'=AD\cdot\sqrt{2}=AB\cdot\sqrt{2}\)(2)

DCC'D' là hình vuông

=>\(CD'=CD\cdot\sqrt{2}=AB\cdot\sqrt{2}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra AC=AD'=D'C

=>ΔAD'C đều

=>\(\widehat{D'AC}=60^0\)

\(\widehat{MN;EF}=\widehat{AC;AD'}=\widehat{CAD'}=60^0\)

c: \(\widehat{MN;BC}=\widehat{AC;CB}=\widehat{ACB}=45^0\)

d: \(\widehat{EF;CC'}=\widehat{AD';DD'}=\widehat{AD'D}=45^0\)