Cho a,b,c\(\ge-2\) va \(a^2+b^2+c^2+abc=0.CMR:a=b=c=0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 1 2023
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:
\(\dfrac{ab}{a^2+b^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2}=\dfrac{1}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{1}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+a^2\right)}\)
\(\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)}\ge\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge a^3+b^3+c^3+\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2}\right)^2.\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\dfrac{9\left(a^3+b^3+c^3\right)}{8}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{27abc}{8}}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 8 2021
a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)
Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)
b.
\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)
\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)
- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)
Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)
\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)
- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)
Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)
\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)
Áp dụng BĐT Schur:
\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)
\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)
(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{a^5}{b^2(c+3)}+\frac{b(c+3)}{16}+\frac{ab}{4}\geq \frac{3}{4}a^2\)
Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(A+\frac{5}{16}ab+\frac{3(a+b+c)}{16}\geq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)\)
Mà theo BĐT AM-GM dễ thấy \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow A\geq \frac{7}{16}(a^2+b^2+c^2)-\frac{3}{16}(a+b+c)\)
Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:
$a^2+1\geq 2a; b^2+1\geq 2b; c^2+1\geq 2c$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)\geq a+b+c+3\sqrt[3]{abc}=a+b+c+3$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\Rightarrow A\geq \frac{1}{4}(a+b+c)\geq \frac{1}{4}\sqrt[3]{abc}=\frac{3}{4}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 9 2021
Mình vừa sửa lỗi công thức, bạn load lại để xem nhé.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2021
\(\dfrac{a^5}{b^2\left(c+3\right)}+\dfrac{b^2}{4}+\dfrac{a\left(c+3\right)}{16}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^6b^2\left(c+3\right)}{64b^2\left(c+3\right)}}=\dfrac{3}{4}a^2\)
Tương tự: \(\dfrac{b^5}{c^2\left(a+3\right)}+\dfrac{c^2}{4}+\dfrac{b\left(a+3\right)}{16}\ge\dfrac{3}{4}b^2\)
\(\dfrac{c^5}{a^2\left(b+3\right)}+\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{c\left(b+3\right)}{16}\ge\dfrac{3}{4}c^2\)
Cộng vế:
\(A+\dfrac{a^2+b^2+c^4}{4}+\dfrac{ab+bc+ca}{16}+\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{ab+bc+ca}{16}-\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{16}-\dfrac{9}{16}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{7}{16}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\dfrac{9}{16}\ge\dfrac{7}{16}.3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}-\dfrac{9}{16}=\dfrac{3}{4}\) (đpcm)
LS
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 9 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+1\geq 2b$
$c^2+1\geq 2c$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)$
Cũng áp dụng BĐT Cô-si: $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)\geq a+b+c+3$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
LS
0
KHÔNG MẤT TÍNH TÔNG QUÁT, ĐẶT \(a< _=b< _=c\)
TA CÓ:
\(a^2+b^2+c^2+abc=0\)
=> \(a^2+b^2+c^2=-abc\)
DO \(a< _=b< _=c\)
=> \(a^2+b^2+c^2=-abc>_=a^2+a^2+a^2=3a^2\)
=> \(-bc>_=3a\)
XÉT HAI TRƯỜNG HỢP:
TH1: a khác 0
=> \(\frac{-bc}{a}>_=3\)
TA CÓ \(a^2+b^2+c^2=-abc\)
\(a^2+b^2+c^2>0\left(a#0\right)\)
=> - abc > 0
=> Hoặc a âm , b và c lớn hơn 0 , hoặc a , b , c âm
=> \(\frac{-bc}{a}< 0\)
MÀ \(\frac{-bc}{a}>_=3\)
=> LOẠI
TH2: a = 0
=> thỏa mãn
=> \(b^2+c^2+bc=0\)
=> \(b^2+c^2+\left(b+c\right)^2=0\)
=> b = c = 0
VẬY a = b = c = 0
Sai rồi b. Làm lại đi b