Tìm \(MAX\) của hàm số \(y=\frac{1}{x^2+x+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 11 2021
Lời giải:
Đặt $t=\frac{2x}{x^2+1}$
$t+1=\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\geq 0\Rightarrow t\geq -1$
$1-t=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\geq 0\Rightarrow t\leq 1$
Vậy $-1\leq t\leq 1$
$y=t^2-4t+25=(t+1)(t-5)+30$
Vì $-1\leq t\leq 1$ nên $t+1\geq 0; t-5\leq 0\Rightarrow (t+1)(t-5)\leq 0$
$\Rightarrow y\leq 30$
Vậy $y_{\max}=30$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 9 2021
Lời giải:
\(x\in [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]\Rightarrow x^2\leq 2\Rightarrow \sqrt{x^2+1}\leq \sqrt{3}\)
\(y=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\geq \frac{x+1}{\sqrt{3}}\geq \frac{-\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}\)
Vậy $y_{\min}=\frac{-\sqrt{2}+1}{\sqrt{3}}$ khi $x=-\sqrt{2}$
$y^2=\frac{x^2+2x+1}{x^2+1}=1+\frac{2x}{x^2+1}$
$y^2=2+\frac{2x-x^2-1}{x^2+1}=2-\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\leq 2$
$\Rightarrow y\leq \sqrt{2}$
Vậy $y_{\max}=\sqrt{2}$ khi $x=1$
17 tháng 4 2022
1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3
= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x + 3
= 1-x/x + 2x/1-x + 3 >= 2√2 + 3
Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1
17 tháng 4 2022
2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)
=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y
= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3
a^2+1 >= 2a => a/a^2+1 <= 1/2
b^2+2 >= 2√2 b => b/b^2+2 <= 1/2√2
c^2+3 >= 2√3 c => c/c^2+3 <= 1/2√3
=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3
Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3
<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3
<=> x=4, y=6, z=2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 7 2021
a.
TXĐ: \(D=\left[-4;2\right]\)
\(0\le\sqrt{9-\left(x+1\right)^2}\le3\Rightarrow-1\le\sqrt{9-\left(x+1\right)^2}\le2\)
\(\Rightarrow f'\left(\sqrt{8-x^2-2x}-1\right)\le0\) ; \(\forall x\in D\)
\(g'\left(x\right)=-\dfrac{x+1}{\sqrt{8-x^2-2x}}.f'\left(\sqrt{8-x^2-2x}-1\right)\) luôn cùng dấu \(x+1\)
\(\Rightarrow g\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left[-1;2\right]\) và nghịch biến trên \(\left[-4;-1\right]\)
Từ BBT ta thấy \(g\left(x\right)_{max}=g\left(-4\right)=g\left(2\right)=f\left(-1\right)=?\)
\(g\left(x\right)_{min}=g\left(-1\right)=f\left(2\right)=?\)
(Do đề chỉ có thế này nên ko thể xác định cụ thể được min-max)
b.
\(g'\left(x\right)=\left(2x+1\right).f'\left(x^2+x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\f'\left(x^2+x\right)=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), ta chỉ cần quan tâm 2 nghiệm bội lẻ:
\(f'\left(x^2+x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+x=-1\left(vô-nghiệm\right)\\x^2+x=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Với \(\left[{}\begin{matrix}x\le-2\\x\ge1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2+x\ge2\) ; với \(-2\le x\le1\Rightarrow-1\le x^2+x\le2\) nên ta có bảng xét dấu:
Từ BBT ta có: \(x=-\dfrac{1}{2}\) là cực đại, \(x=-2;x=1\) là 2 cực tiểu
Hàm đồng biến trên ... bạn tự kết luận
HY
1
21 tháng 5 2015
\(F=\frac{x^2}{x+x^3}+\frac{y^2}{y+y^3}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy+1\right)}=\frac{1}{1+\left(x+y\right)^2-3xy}=\frac{1}{2-3xy}\)\(\ge\frac{1}{2-\frac{3}{4}}=\frac{4}{5}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=\(\frac{1}{2}\)
Ta có thể viết:
\(y=\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\)
Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
Do đó: \(y\le\frac{4}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)
Vậy \(MAX_y=\frac{4}{3}\) tại \(x=-\frac{1}{2}\)
\(\frac{3}{4}\)