Question

[Thao Minh]

​Cho tam giác đều ABC, O là điểm nằm trong tam giác sao cho OA=8, OB=10, OC=12. Tính AB

Answer 1

[Minh Anh]

Đặt: \(AB=AC=BC=a\)

Độ dài a phải thoả mãn các bất đẳng thức trong tam giác:

\(\hept{\begin{cases}10-8< a< 10+8\\12-8< a< 12+8\\12-10< a< 12+10\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2< a< 18\\4< a< 20\Leftrightarrow4< a< 18\left(\text{*}\right)\\2< a< 22\end{cases}}\)

\(\cos BAO=\frac{AO^2+AB^2-OB^2}{2.AO.AB}=\frac{a^2-36}{16a}\)    

\(\cos CAO=\frac{AC^2+AO^2-OC^2}{2.AO.AB}=\frac{a^2-80}{16a}\)

Lại có:

\(\cos BAC=\cos\left(BAO+CAO\right)\)

\(\Leftrightarrow\cos60^o=\cos BAO.\cos CAO-\sin BAO.\sin CAO\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\cos BAO.\cos CAO-\sqrt{1-\cos^2BAO}.\sqrt{1-\cos^2CAO}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{a^2-36}{16a}.\frac{a^2-80}{16a}-\sqrt{1-\left(\frac{a^2-36}{16a}\right)^2}.\sqrt{1-\left(\frac{a^2-80}{16a}\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}=\frac{a^4-116a^2+2880}{256a^2}-\frac{\sqrt{\left(-a^4+328a^2-1296\right)\left(-a^4+416a^2-6400\right)}}{256a^2}\)

\(\Leftrightarrow128a^2=a^4-116a^2+2880-\sqrt{\left(-a^4+328a^2-1296\right)\left(-a^4+416a^2-6400\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(-a^4+328a^2-1296\right)\left(-a^4+416a^2-6400\right)}=a^4-244a^2+2880\)  (1)

Điều kiện: \(a^4-244a^2+2880\ge0\left(\text{*}\text{*}\right)\) 

\(\left(1\right)\Leftrightarrow a^8-744a^6+144144a^4-2638336a^2+8294400\)

\(=a^8+59536a^4+8294400-488a^6+5760a^4-1405440a^2\)

\(\Leftrightarrow256a^6-78848a^4+1232896a^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^4-308a^2+4816=0\left(\Delta'=18900\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=30\sqrt{21}\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a^2=154+30\sqrt{21}\\a^2=154-30\sqrt{21}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=\sqrt{154+30\sqrt{21}}\left(\text{nhận}\right)\\a=\sqrt{154-30\sqrt{21}}\left(\text{loại vì không thoả }\left(\text{** }\right)\right)\end{cases}}\)

Vậy: \(AB=\sqrt{154+30\sqrt{21}}\)

Answer 2

[Minh Anh]

Bổ sung cái thứ 2 thêm cái  \(12-10< a< 12+10\) nữa , olm lưu thiếu hay mình viết thiếu  k rõ nữa, tóm lại thêm cái đó vào nha ...