Question

[Xuan Mai Do Thi]

Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt (O;R) tại B và C (AB<AC). Gọi I là trung điểm BC

a, Chứng minh A, M, N, O, I cùng thuộc 1 đường tròn

b, Chứng minh AK.AI = AB.AC

Answer 1

[ntkhai0708]

Xét $(O)$ có: $BC$ là dây cung
$I$ là trung điểm $BC$

$⇒OI ⊥BC$ (tính chất)

Xét $(O)$ có: $AM;AN$ là các tiếp tuyến của đường tròn

$⇒AM⊥OM;AN⊥ON;AM=AN$

Xét tứ giác $AMON$ có:

$\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o$

$⇒\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^o$

$⇒$ Tứ giác $AMON$ nội tiếp (tổng 2 góc đối $=180^o$)

$⇒$ 4 điểm $A;M;O;N$ thuộc 1 đường tròn(1)

Lại có: $\widehat{AIO}=\widehat{ANO}=90^o$

$⇒\widehat{AIO}+\widehat{ANO}=180^o$

$⇒$ Tứ giác $AION$ nội tiếp (Tổng 2 góc đối $=180^o$)

hay 4 điểm $A;I;O;N$ thuộc 1 đường tròn (2)

Từ $(1)(2)⇒$ 5 điểm $A;I;O;M;N$ thuộc 1 đường tròn (đpcm)

b, $K$ sẽ là giao điểm của $MN$ và $AC$

5 điểm $A;I;O;M;N$ thuộc 1 đường tròn

$⇒$ Tứ giác $AMIN$ nội tiếp

$⇒\widehat{AIM}=\widehat{ANM}$ (các góc nội tiếp cùng chắn cung $AM$)

Ta có: $AM=AN⇒\triangle AMN$ cân tại $A$

$⇒\widehat{AMN}=\widehat{ANM}$

$⇒\widehat{AIM}=\widehat{AMN}$

hay $\widehat{AIM}=\widehat{AMK}$

Xét $\triangle AIM$ và $\triangle AMK$ có:

$\widehat{AIM}=\widehat{AMK}$

$\widehat{A}$ chung

$⇒\triangle AIM \backsim \triangle AMK(c.g.c)$

$⇒\dfrac{AI}{AM}=\widehat{AM}{AK}$

$ ⇒AK.AI=AM^2(3)$

Xét $(O)$ có: $\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $MB$)

Xét $\triangle AMB$ và $\triangle ACM$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ 

$\widehat{A}$ chung

$⇒\triangle AMB \backsim \triangle ACM(g.g)$

$⇒\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}$

Hay $AB.AC=AM^2(4)$ 

Từ $(3)(4)⇒AK.AI=AB.AC(đpcm)$

Answer 2

[Xuan Mai Do Thi]

GIÚP MÌNH VỚI