cho 3 số a,b,c thoả mãn \(0\le a\) ; \(b,c\le1\) và a+b+c =2
cm a2 +b2 +c2 \(\le\)2
m.n giúp hộ vs mai mk thi rồi
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 5 2021
Áp dụng BĐT cosi:
\(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\le\dfrac{a^2+1-b^2}{2}\)
Tương tự cx có: \(b\sqrt{1-c^2}\le\dfrac{b^2+1-c^2}{2}\)
\(c\sqrt{1-a^2}\le\dfrac{c^2+1-a^2}{2}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
25 tháng 2 2018
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c² -ab-bc-ca) ; thay giả thiết a+b+c = 3 ta có:
a³+b³+c³ = 3(a²+b²+c² -ab-bc-ca + abc) (1)
* từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 => (2-a)(2-b)(2-c) ≥ 0
⇔ 8 -4a-4b-4c + 2ab+2bc+2ca -abc ≥ 0 (lại thay a+b+c = 3)
⇒ abc ≤ 2ab+2bc+2ca - 4 (2)
Dấu '=' khi có 1 số = 2
thay (1) vào (2) ta có:
a³+b³+c³ ≤ 3(a²+b²+c² +ab+bc+ca - 4) = 3[(a+b+c)² - ab-bc-ca -4] = 3(5-ab-bc-ca) (3)
Mặt khác cũng từ (2) ta có: 2(ab+bc+ca) ≥ abc+4 ≥ 4
⇒ -ab-bc-ca ≤ -2 (dấu "=" khi có 1 số = 0) thay vào (3) ta có
a³+b³+c³ ≤ 3(5-ab-bc-ca) ≤ 9 (đpcm)
Mới lớp 8 nên không hiểu biết rộng về lớp 9 sai bỏ qua
YN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 8 2021
\(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\Rightarrow abc\le1\)
\(\dfrac{1}{1+a^2\left(b+c\right)}=\dfrac{1}{1+a\left(ab+ac\right)}=\dfrac{1}{1+a\left(3-bc\right)}=\dfrac{1}{1+3a-abc}=\dfrac{1}{3a+\left(1-abc\right)}\le\dfrac{1}{3a}\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\le\dfrac{1}{3a}+\dfrac{1}{3b}+\dfrac{1}{3c}=\dfrac{ab+bc+ca}{3abc}=\dfrac{3}{3abc}=\dfrac{1}{abc}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 10 2021
a. Đề bài em ghi sai thì phải
Vì:
\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 10 2021
b.
Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)
Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R
Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm
\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)
\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)
\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)
Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb
Đặt 1-a =x \(\ge0\) ; 1 -b =y\(\ge0\) ; 1 - c =z\(\ge0\)
=> a+b+c =2 <=> x+y+z =1
\(a^2+b^2+c^2=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2=3-2\left(x+y+z\right)+\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=1+\left(x^2+y^2+z^2\right)=1+\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le2\)
dấu = xay ra khi x =y =0; z =1 hoặc x=z =0 ; y =1 hoạc y=z =0 ; x =1
hay a=b =1; c =0 hoạc ..................................................