Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 4. Chứng minh b + c ≥ abc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TC
1
14 tháng 1 2018
Câu trả lời hay nhất: áp dụng BĐT bunhiacopxki
(a² + b² + c²).(1+1+1) ≥ (a.1 + b.1 + c.1)² = 1
=> a² + b² + c² ≥ 1/3
dấu "=" xảy ra <=> a/1 = b/1 = c/1 => a = b = c = 1/3
tk mk nha $_$
NT
0
MY
0
TT
2
HL
27 tháng 4 2017
(a-1)(b-1)(c-1)
=(ab-a-b+1)(c-1)
=abc+a+b+c-ab-bc-ac-1
mà abc=1
=>1+a+b+c-ab-bc-ac-1
=a+b+c-ab-bc-ac
vì abc=1
=>ab=1/c;bc=1/a;ac=1/b
=>(a+b+c)-(1/a+1/b+1/c)
mà a+b+c>1/a+1/b+1/c
=>(a+b+c)-(1/a+1/b+1/c)>0
=>(a-1)(b-1)(c-1)>0
C
22 tháng 9 2019
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)
\(=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)\)
\(=abc-ac-bc+c-ab+a+b-1\)
\(=-ac-bc+c-ab+a+b\)
Mà abc = 1 nên \(\hept{\begin{cases}ab=\frac{1}{c}\\bc=\frac{1}{a}\\ac=\frac{1}{b}\end{cases}}\)
\(ĐT\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)>0\)
(Vì \(\left(a+b+c\right)>\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\))
Vậy \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\left(đpcm\right)\)
DT
1
HT
6 tháng 11 2016
Vì abc>0 nên có ít nhất 1 số lớn hơn 0
Vai trò của a, b, c như nhua nên chọn a>0
TH1: b<0;c<0 \(\Rightarrow b+c>-a\Rightarrow\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\\ \Rightarrow b^2+c^2+2bc< -ab-ac\\ bc+ab+ac< -b^2-c^2-bc=-\left(b^2+c^2+a^2\right)< 0\)(trái với giả thiết)
\(\Rightarrow\)TH2: b>0, c>0 thì a>0( luôn đúng)
Vậy a, b, c >0
\(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c\ge2\sqrt{c\left(a+b\right)}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b+c\right)^2\ge4a\left(b+c\right)\\\left(b+c\right)^2\ge4bc\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow16\left(b+c\right)=\left(a+b+c\right)^2\left(b+c\right)\\ \ge4a\left(b+c\right)\left(b+c\right)=4a\left(b+c\right)^2\ge4a\cdot4bc=16abc\\ \Leftrightarrow16\left(b+c\right)\ge16abc\\ \Leftrightarrow b+c\ge abc\)
Dấu \("="\Leftrightarrow b=c=1;a=2\)