Question

[Pham Trong Bach]

Cho số phức  z  thỏa mãn $\left|z\right|<2.$ GTNN của biểu thức $P=2\left|z+1\right|+2\left|z-1\right|+\left|z-\bar{z}-4i\right|$ bằng

A.  $4+2\sqrt{3}.$

B. $2+\sqrt{3}.$

C.  $4+\frac{14}{\sqrt{15}}.$

D.  $2+\frac{7}{\sqrt{15}}.$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B.

Phương pháp: 

Tọa độ hóa điểm số phức z, đánh giá GTNN.

Cách giải:

Giả sử z = x + y i ,    x , y ∈ R ⇒ M x ; y

là điểm biểu diễn của  z trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

P = 2 z + 1 + 2 z − 1 + z − z ¯ − 4 i  

= 2 x + 1 2 + y 2 + x − 1 2 + y 2 + y − 2

Đặt A − 1 ; 0 , B 1 ; 0 , C 0 ; 2  và H 0 ; y  là hình chiếu của M lên Oy. Khi đó,  P = 2 M A + M B + M C

Ta xác định vị trí của M để P đạt giá trị nhỏ nhất, (M di chuyển trên hình tròn x 2 + y 2 ≤ 4 )

+) Nếu M ∈ C 1 : x 2 + y 2 ≤ 4 ,    y < 0  thì ta luôn tìm được điểm

M ' ∈ C 1 : x 2 + y 2 ≤ 4 ,    y ≥ 0  đối xứng với M qua Ox. Khi đó,

P = 2 M A + M B + H C

= 2 M ' A + M ' B + H ' C > 2 M A + M B + H C

+) Ta xét điểm

M ∈ C 2 : x 2 + y 2 ≤ 4 ,    y ≥ 0  

Với M nằm trong nửa hình tròn C 2 ,  thay đổi trên đường thẳng y = m  cố định 0 ≤ m ≤ 2  thì độ dài đoạn HC không đổi, M A + M B ≥ 2 2 H A + H C  

Ta có:

2 H A + H C = 2 m 2 + 1 + 2 − m = f m ,    m ∈ 0 ; 2  

f ' m = 2 m 2 + 1 − 1 ,     f ' m = 0 ⇔ m = 1 3  

f m min = f 1 3 = 1 + 3 2  

⇒ P min = 2 1 + 3 2 = 2 + 3

khi M 0 ; 1 3  hay  z = i 3 .