Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số $f\left(x\right)=m{x}^4-\left(m+1\right)x^2+\left(m+1\right)$.Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm trên các trục tọa độ là

A. $\left[-1;\frac{1}{3}\right]$

B. $\left[-1;0\right]\cup \left\{\frac{1}{3}\right\}$

C. $\left[0;\frac{1}{3}\right]\cup \left\{-1\right\}$

D.  $\left\{0;-1;\frac{1}{3}\right\}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án là B.

• Trường hợp  m = 0

f x = − x 2 + 1  có đồ thị là parabol, có đỉnh I(0;-1).

Đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực đại là I thuộc trục tung.

Do đó m = 0  thoả yêu cầu bài toán.

•  Trường hợp  m ≠ 0

  f ' x = 4 m x 3 − 2 m + 1 x

f ' x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x 2 = m + 1 2 m

+ Nếu − 1 ≤ m < 0  thì f ' ( x ) = 0  có nghiệm x = 0  ( y = m + 1  )

Đồ thị hàm số có một điểm cực đại (0;m+1) thuộc trục toạ độ.

+ Nếu m < − 1 ∨ m > 0  thì f ' ( x ) = 0  có ba nghiệm phân biệt

x = 0    y = m + 1 x = m + 1 2 m      ( y = 3 m 2 + 2 m − 1 4 m ) x = − m + 1 2 m     ( y = 3 m 2 + 2 m − 1 4 m )

Khi đó đồ thị hàm số có các điểm cực trị thuộc các trục toạ độ khi và chỉ khi 3 m 2 + 2 m − 1 = 0 ⇔ m = − 1 ∨ m = 1 3 . Nhận  m = 1 3