Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(-1;3;4\right)$ và $B\left(3;1;0\right)$. Gọi M là điểm trên mặt phẳng $\left(Oxz\right)$ sao cho t ổng khoảng cách từ M đến A và B là ngắn nhất. Tìm hoành độ $x_0$ của điểm M.

A. $x_0=1$

B. $x_0=2$

C. $x_0=3$

D. $x_0=4$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B.

Rõ ràng A và B đều nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng O x z  (do đều có tung độ dương). Gọi A' là điểm đối xứng của A qua O x z  thì A ' = − 1 ; − 3 ; 4 . Ta có M A + M B = M A ' + M B  (do  M ∈ O x z    và A' là điểm đối xứng của A qua O x z ). Do đó   M A + M B ngắn nhất  ⇔ M A ' + M B    ngắn nhất ⇔ A ' , M , N  thằng hàng, tức M là giao điểm của A'B và O x z .

Ta có  A ' B → = 4 ; 4 ; − 4   . Suy ra phương trình đường thẳng  A ' B : x = 3 + t y = 1 + t z = − t   .

Phương trình mặt phẳng ( O x z )  là y=0. Giải phương trình  1 + t = 0 ⇔ t = − 1   .

Suy ra M = 2 ; 0 ; 1 . Do đó M có hoành độ bằng 2. Vậy B là đáp án đúng.