Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian Oxyz cho ba điểm $A\left(-1;2;2\right)$, $B\left(3;-1;-2\right)$ và $C\left(-4;0;3\right)$. Tìm tọa độ điểm I trên mặt phẳng (Oxy) sao cho biểu thức $\left|\stackrel{\to }{IA}-2\stackrel{\to }{IB}+5\stackrel{\to }{IC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $I\left(-\frac{37}{4};0;\frac{19}{4}\right)$

B. $I\left(-\frac{27}{4};0;\frac{21}{4}\right)$

C. $I\left(\frac{37}{4};0;-\frac{23}{4}\right)$

D. $I\left(\frac{25}{4};0;-\frac{19}{4}\right)$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B.

Gọi M là điểm thỏa mãn 

M A → − 2 M B → + 5 M C → = 0 ⇔ M − 27 4 ; 1 ; 21 4

 Khi đó

I A → − 2 I B → + 5 I C → = I M → + M A → − 2 I M → + 5 I M → + 5 M C → = 4 I M → + 0 → = 4 I M →

Biểu thức   I A → − 2 I B → + 5 I C → đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ I M →  nhỏ nhất => I là hình chiếu của M trên mặt phẳng  O x z ⇔ I − 27 4 ; 0 ; 21 4   .

Bài toán tổng quát: Trong không gian cho các điểm A 1 , A 2 ,..., A n  và mặt phẳng P . Tìm điểm I trên mặt phẳng P  sao cho biểu thức k 1 I A 1 → + k 2 I A 2 → + ... + k n I A n →  đạt giá trị nhỏ nhất, trong đó k 1 , k 2 ,..., k n  là những số thực và ∑ i = 0 n k i ≠ 0 .

Cách giải:

- Tìm điểm M thỏa mãn  k 1 M A 1 → + k 2 M A 2 → + ... + k n M A n → = 0   .

- Khi đó k 1 I A 1 → + k 2 I A 2 → + ... + k n I A n → = ∑ i = 1 n k i I M → .

- Do đó k 1 I A 1 → + k 2 I A 2 → + ... + k n I A n →  đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ I M →  nhỏ nhất =>   I là hình chiếu vuông góc của M trên  P   .