Question

[Pham Trong Bach]

Một hình vuông $ABCD$ có cạnh $AB=a.$, diện tích $S_1.$ Nối 4 trung điểm $A_1,B_1,C_1,D_1$ theo thứ tự của 4 cạnh $AB,BC,CD,DA$ ta được một hình vuông thứ hai $A_1,B_1,C_1,D_1$ có diện tích $S_2$. Tiếp tục như vậy ta được hình vuông thứ 3 là có diện tích $S_3$ và cứ như thế ta được $S_4,S_5$,... Tính giá trị của  $S=S_1+S_2+S_3+\mathrm{...}+S_{100}$

A.  $\frac{2^{100}-1}{2^{99}{a}^2}$

B.  $\frac{a\left(2^{100}-1\right)}{2^{99}}$

C.  $\frac{a^2\left(2^{100}-1\right)}{2^{99}}$

D.  $\frac{a^2\left(2^{99}-1\right)}{2^{99}}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án C

Diện tích hình vuông A B C D  là S 1 = a 2 ; diện tích hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1  là  S 2 = a 2 2 2 = a 2 2

Diện tích hình vuông A 2 B 2 C 2 D 2  là  a 2 2 = a 2 4 ; ...

Diện tích hình vuông A 99 B 99 C 99 D 99  là S 100 = a 2 2 99

Vậy S = a 2 1 2 0 + 1 2 1 + 1 2 2 + ... + 1 2 99 ⏟ T

với T là tổng của CSN có u 1 = 1 ; q = 1 2 và  n = 100

Do đó, tổng:

S = a 2 . 1 − 1 2 100 1 − 1 2 = 2 a 2 1 − 1 2 100 = a 2 2 100 − 1 2 99