Question

[Pham Trong Bach]

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y - 2z - 12 = 0 và hai điểm A ( 1;1;3 ), B ( 2;1;4 ). Tìm tập hợp tất cả các điểm $C\in \left(P\right)$sao cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất

A.  $\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=-\frac{8}{9}\\ z=-\frac{8}{9}+t\end{array}\right.$

B.  $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-\frac{8}{9}\\ z=-\frac{8}{9}+t\end{array}\right.$

C.  $\left\{\begin{array}{l}x=-2t\\ y=-\frac{8}{9}\\ z=-\frac{8}{9}+t\end{array}\right.$

D.  $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-\frac{8}{9}\\ z=-\frac{8}{9}+t\end{array}\right.$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Từ phương trình mặt phẳng (P) ta có: y = 2x - 2z - 12 nên tọa độ điểm  C a ; 2 a - 2 b ; b

Ta có  A B ⇀ = 1 ; 0 ; 1 , A C → = a - 1 ; 2 a - 2 b - 13 ; v - 3

Suy ra  A B ⇀ , A C ⇀ = 2 a - 2 b - 13 ; b - a - 2 ; 13 - 2 a + 2 b

Do đó 

S A B C = 1 2 A B ⇀ , A C ⇀ = 1 2 2 a - 2 b - 13 2 + b - a - 2 2 + 13 - 2 a + 2 b 2

Đặt t = a - b thì

4 S ∆ A B C 2 = 2 t - 13 2 + t + 2 2 + 13 - 2 t 2 = 9 t 2 - 100 t + 342 = 30 t - 50 3 2 + 578 9 ≥ 578 9

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  t = 50 9

Do đó m i n S A B C = 17 2 6  khi t = 50 9 . Vì thế  b = a - 50 9

Suy ra  C a ; - 8 9 ; a - 50 9

Vậy tập hợp các điểm C là đường thẳng có phương trình  x = t y = - 8 9 z = - 8 9 + t

Đáp án B