Question

[Pham Trong Bach]

Cho số phức z thỏa $4\left|z+i\right|+3\left|z-i\right|=10$. Giá trị nhỏ nhất của $\left|z\right|$ bằng

A.  $\frac{1}{2}$

B.  $\frac{5}{7}$

C.  $\frac{3}{2}$

D. 1

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D

Hình vẽ minh họa

Gọi A(0;-1);B(0;1) có trung điểm là O(0;0). Điểm M biểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến trong tam giác MAB thì z 2 = M O 2 = M A 2 + M B 2 2 - A B 2 4  

Theo giả thiết, ta có 4MA + 2MB = 10. 

Đặt M A = t ⇒ M B = 10 - 4 t 3  

Vì M A - M B = 10 - 7 t 2 ≤ A B = 2 ⇒ - 6 ≤ 10 - 7 t ≤ 6 ⇔ a ∈ 4 7 ; 16 7  

Ta có M A 2 + M B 2 = t 2 + 10 - 4 t 3 2 = 25 t 2 - 80 t + 100 9 = 5 t - 8 2 + 36 9  

Do - 36 7 ≤ 5 t - 8 ≤ 34 7 ⇒ 0 ≤ 5 t - 8 2 ≤ 1296 49 ⇒ M A 2 + M B 2 ≥ 4  nên z 2 ≥ 1 ⇒ m = z m i n = 1 .