Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số   $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị (C). Biết rằng (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1>x_2>x_3>0$ và trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị của (C) có hoành độ $x_0=\frac{1}{3}$ . Biết rằng ${\left(3x_1+4x_2+5x_3\right)}^2=44\left(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1\right)$. Tính tổng  $S=x_1+{x_2}^2+{x_3}^2$

A.  $S=\frac{137}{216}$

B.  $S=\frac{45}{157}$

C.  $S=\frac{133}{216}$

D.  $S=1$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Chọn đáp án C

Ta có

⇔ x = - b 3 a

Đồ thị (C) có hai điểm cực trị thì trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị đó chính là điểm uốn U của đồ thị và hoành độ của điểm U là nghiệm của phương trình y'' = 0. Từ giả thiết ta có

Lại có phương trình hoành độ giao điểm a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 có ba nghiệm dương phân biệt x 1 , x 2 , x 3 .

Theo định lý Vi-ét ta có

Từ giả thiết

 

Áp dụng bất đẳng thức Cau-chy cho các số dương ta có:

; dấu “=” xảy ra khi 2 x 1 = 3 x 2   

; dấu “=” xảy ra khi  2 x 1 = 6 x 3

; dấu “=” xảy ra khi  x 2 = 2 x 3

Cộng theo vế của ba bất đẳng thức trên ta đươc

 

Dấu “=” xảy ra khi

Vậy  S = x 1 + x 2 2 + x 3 2 =  133 216