chứng minh định lí thứ 3 bằng tam giác đồng dạng thầy ( đly : b.c=a.h )
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 1 2024
a: Ta có: \(\widehat{DME}=\widehat{B}\)
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(ΔABC cân tại A)
Do đó: \(\widehat{DME}=\widehat{C}\)
Ta có: \(\widehat{EMC}+\widehat{C}+\widehat{MEC}=180^0\)
\(\widehat{EMC}+\widehat{DME}+\widehat{DMB}=180^0\)
mà \(\widehat{C}=\widehat{DME}\)
nên \(\widehat{MEC}=\widehat{DMB}\)
Xét ΔMEC và ΔDMB có
\(\widehat{MEC}=\widehat{DMB}\)
\(\widehat{C}=\widehat{B}\)
Do đó: ΔMEC~ΔDMB
c: Ta có: ΔBMD~ΔCEM
=>\(\dfrac{MB}{EC}=\dfrac{BD}{MC}\)
=>\(BD\cdot EC=MB\cdot MC=MB^2\)
13 tháng 4 2016
A B C D E F K 1 1 1
Từ câu c suy ra \(\frac{BE}{BD}=\frac{BD}{DF}\) 1
ta có \(B_1=C_1\) (2 góc so le trong)
\(C_1=D_1\) (2 góc so le trong)
\(\Rightarrow B_1=D_1\)
Lại có : \(BED=B_1+60\)
\(BDF=D_1+60\)
\(\Rightarrow BED=BDF\) 2
Từ 1 và 2 suy ra \(\Delta BDE\infty\Delta DBF\)
16 tháng 3 2023
Vd như hình này nha bạn, ta có F,E,D thẳng hàng và F,E,D lần lượt nằm 3 đường thẳng của tam giác ABC thì FA/FB*DB/DC*EC/EA=1
KN
3
6 tháng 6 2019
rong toán học, định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Định lý phát biểu rằng bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại. Định lý có thể viết thành một phương trình liên hệ độ dài của các cạnh là a, b và c, thường gọi là "công thức Pytago":[1]
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}
với c là độ dài cạnh huyền và a và b là độ dài hai cạnh góc vuông hay còn gọi là cạnh kề.
Mặc dù những hiểu biết về mối liên hệ này đã được biết trước thời của ông,[2][3] định lý được đặt tên theo nhà toán học Hy Lạp cổ đạiPythagoras (k. 570–495 BC) khi - với những tư liệu lịch sử đã ghi lại - ông được coi là người đầu tiên chứng minh được định lý này.[4][5][6] Có một số chứng cứ cho thấy các nhà toán học Babylon đã hiểu về công thức này, mặc dù có ít tư liệu cho thấy họ đã sử dụng nó trong khuôn khổ của toán học.[7][8] Các nhà toán học khu vực Lưỡng Hà, Ấn Độ và Trung Quốc cũng đều tự khám phá ra định lý này và trong một số nơi, họ đã đưa ra chứng minh cho một vài trường hợp đặc biệt.
Có rất nhiều chứng minh cho định lý này - và có lẽ là nhiều nhất trong các định lý của toán học. Cách chứng minh rất đa dạng, bao gồm cả chứng minh bằng hình học lẫn đại số, mà một số có lịch sử hàng nghìn năm tuổi. Định lý Pytago còn được tổng quát hóa bằng nhiều cách khác nhau, bao gồm cho không gian nhiều chiều, cho các không gian phi Euclid, cho các tam giác bất kỳ, và thậm chí cho những đối tượng khác xa hẳn so với tam giác vuông, những đối tượng hình học tổng quát trong không gian nhiều chiều. Định lý Pytago còn thu hút nhiều sự chú ý từ bên ngoài phạm vi toán học, như là một biểu tượng toán học thâm thúy, bí ẩn, hay sức mạnh của trí tuệ; nó cũng được nhắc tới trong văn học, kịch bản, âm nhạc, bài hát, con tem và phim hoạt hình.
Mục lục
- 1Chứng minh của Pytago
- 2Những dạng khác của định lý
- 3Các chứng minh khác
- 3.1Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng
- 3.2Chứng minh của Euclid
- 3.3Các chứng minh bằng cách chia hình và sắp xếp lại
- 3.4Chứng minh của Einstein bằng phân tích lập luận
- 3.5Các chứng minh bằng đại số
- 3.6Chứng minh sử dụng vi tích phân
- 4Định lý đảo
- 5Hệ quả và các áp dụng
- 5.1Bộ ba số Pytago
- 5.2Dựng đoạn thẳng vô ước
- 5.3Số phức
- 5.4Khoảng cách Euclid trong các hệ tọa độ khác nhau
- 5.5Đẳng thức lượng giác Pytago
- 5.6Liên hệ với tích vectơ
- 6Tổng quát hóa
- 6.1Các hình đồng dạng trên ba cạnh tam giác
- 6.2Định lý cos
- 6.3Tam giác bất kỳ
- 6.4Tam giác bất kỳ và các hình bình hành dựng trên các cạnh
- 6.5Hình học không gian
- 6.6Không gian tích trong
- 6.7Hình học phi Euclid
- 6.7.1Hình học cầu
- 6.7.2Hình học hyperbolic
- 6.7.3Tam giác vô cùng bé
- 6.8Hình học vi phân
- 7Lịch sử
- 8Xem thêm
- 9Tham khảo
- 10Đọc thêm
- 11Liên kết ngoài
Chứng minh của Pytago[sửa | sửa mã nguồn]
Chứng minh định lý của Pytago (nhấp xem ảnh động)
Định lý Pytago đã được biết đến từ lâu trước thời của Pythagoras, nhưng ông được coi là người đầu tiên nêu ra chứng minh định lý này.[2]Cách chứng minh của ông rất đơn giản, chỉ bằng cách sắp xếp lại hình vẽ.
Trong hai hình vuông lớn ở hình minh họa bên trái, mỗi hình vuông chứa bốn tam giác vuông bằng nhau, sự khác nhau giữa hai hình vuông này là các tam giác vuông được bố trí khác nhau. Do vậy, khoảng trắng bên trong mỗi hình vuông phải có diện tích bằng nhau. Dựa vào hình vẽ, hai vùng trắng có diện tích bằng nhau cho phép rút ra được kết luận của định lý Pytago, Q.E.D.[9]
Về sau, trong tác phẩm của nhà triết học và toán học Hy Lạp Proclus đã dẫn lại chứng minh rất đơn giản của Pythagoras.[10] Các đoạn dưới đây nêu ra một vài cách chứng minh khác, nhưng cách chứng minh ở trên thuộc về của Pythagoras.
Những dạng khác của định lý[sửa | sửa mã nguồn]
Như đã nhắc đến ở đoạn giới thiệu, nếu c ký hiệu là chiều dài của cạnh huyền và a và b ký hiệu là chiều dài của hai cạnh kề, định lý Pytago có thể biểu diễn bằng phương trình Pytago:
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}
Nếu đã biết chiều dài cả a và b, thì cạnh huyền c tính bằng
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}
Nếu biết độ dài của cạnh huyền c và một trong các cạnh kề (a hoặc b), thì độ dài của cạnh kề còn lại được tìm bằng công thức: {\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}
Phương trình Pytago cho liên hệ các cạnh của một tam giác vuông theo cách đơn giản, do đó nếu biếu chiều dài của hai cạnh bất kỳ thì sẽ tìm được chiều dài của cạnh còn lại. Một hệ quả khác của định lý đó là trong bất kỳ tam giác vuông nào, cạnh huyền luôn lớn hơn hai cạnh kia, nhưng bé hơn tổng của hai cạnh.
Định lý khái quát định lý này cho tam giác bất kỳ này đó là định lý cos, cho phép tính chiều dài của một cạnh khi biết chiều dài của hai cạnh kia cũng như góc tạo bởi hai cạnh này. Nếu góc giữa hai cạnh này là góc vuông, định lý cos sẽ trở về trường hợp đặc biệt đó là định lý Pytago.
Các chứng minh khác[sửa | sửa mã nguồn]
Định lý này có thể coi là định lý có nhiều cách chứng minh nhất (luật tương hỗ bậc hai là một định lý khác có nhiều cách chứng minh); trong cuốn sách The Pythagorean Propositionnêu ra 370 cách chứng minh cho định lý Pytago.[11]
Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng[sửa | sửa mã nguồn]
Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng.
Chứng minh này dựa trên sự tỉ lệ thuận của các cạnh của hai tam giác đồng dạng, tức là nó dựa trên tỉ số của hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là như nhau với kích thước của tam giác là bất kỳ.
Gọi ABC là một tam giác vuông, với góc vuông nằm tại đỉnh C, như ở hình bên. Vẽ đường cao tam giác từ điểm C, và gọi H là chân đường cao nằm trên cạnh AB. Điểm H chia chiều dài cạnh huyền c thành hai đoạn AH và BH. Tam giác mới ACH đồng dạng với tam ABC, bởi vì chúng đều có góc vuông (như theo định nghĩa của đường cao), và có chung góc tại đỉnh A, điều này có nghĩa rằng góc thứ ba còn lại cũng bằng nhau, ký hiệu θ như trong hình. Lập luận tương tự, tam giác CBH cũng đồng dạng với tam giác ABC. Chứng minh hai tam giác đồng dạng dựa trên mệnh đề về các góc trong tam giác: tổng các góc trong một tam giác bằng hai lần góc vuông, và tương đương với tiên đề về hai đường thẳng song song. Hai tam giác đồng dạng cho tỉ số của các cạnh tương ứng là bằng nhau:
{\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}
Tỉ số thứ nhất bằng cosine của góc θ, và tỉ số thứ hai bằng sin của góc này.
Viết lại các tỉ số này
{\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.}
Cộng hai vế của hai đẳng thức
{\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB\times (AH+BH)=AB^{2},}
và cuối cùng thu được định lý Pytago:
{\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}}
Có nhiều tranh luận xung quanh vai trò của chứng minh này trong lịch sử toán học. Câu hỏi đặt ra là tại sao Euclid đã không sử dụng chứng minh này mà ông đã nghĩ ra một cách khác. Một phỏng đoán cho rằng cách chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng bao gồm định lý về tỉ lệ, một chủ đề không được thảo luận cho đến tận khi ông viết cuốn Cơ sở(Elements), và định lý tỉ lệ cần được phát triển thêm ở thời điểm đó.[12][13]
Chứng minh của Euc...
6 tháng 6 2019
Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng[sửa | sửa mã nguồn]
Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng.
Chứng minh này dựa trên sự tỉ lệ thuận của các cạnh của hai tam giác đồng dạng, tức là nó dựa trên tỉ số của hai cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng là như nhau với kích thước của tam giác là bất kỳ.
Gọi ABC là một tam giác vuông, với góc vuông nằm tại đỉnh C, như ở hình bên. Vẽ đường cao tam giác từ điểm C, và gọi H là chân đường cao nằm trên cạnh AB. Điểm H chia chiều dài cạnh huyền c thành hai đoạn AH và BH. Tam giác mới ACH đồng dạng với tam ABC, bởi vì chúng đều có góc vuông (như theo định nghĩa của đường cao), và có chung góc tại đỉnh A, điều này có nghĩa rằng góc thứ ba còn lại cũng bằng nhau, ký hiệu θ như trong hình. Lập luận tương tự, tam giác CBH cũng đồng dạng với tam giác ABC. Chứng minh hai tam giác đồng dạng dựa trên mệnh đề về các góc trong tam giác: tổng các góc trong một tam giác bằng hai lần góc vuông, và tương đương với tiên đề về hai đường thẳng song song. Hai tam giác đồng dạng cho tỉ số của các cạnh tương ứng là bằng nhau:
{\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}
Tỉ số thứ nhất bằng cosine của góc θ, và tỉ số thứ hai bằng sin của góc này.
Viết lại các tỉ số này
{\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.}
Cộng hai vế của hai đẳng thức
{\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB\times (AH+BH)=AB^{2},}
và cuối cùng thu được định lý Pytago:
{\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}}
AT
31 tháng 7 2021
a) tam giác AHB vuông tại H có đường cao HE nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AE.AB=AH^2\)
tam giác AHC vuông tại H có đường cao HF nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AF.AC=AH^2=AE.AB\)
b) \(AE.AB=AF.AC\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\\\angle BACchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AEF\sim\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)
c) Ta có: \(AH^4=AH^2.AH^2=AE.AB.AF.AC\)
tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng
\(\Rightarrow AB.AC=AH.BC\)
\(\Rightarrow AH^4=AE.AF.BC.AH\Rightarrow AH^3=AE.AF.BC\)
31 tháng 7 2021
a) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, ta được:
\(AE\cdot AB=AH^2\)(1)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:
\(AF\cdot AC=AH^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
b) Ta có: \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
nên \(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)
Xét ΔAFE vuông tại A và ΔABC vuông tại A có
\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)(cmt)
Do đó: ΔAFE\(\sim\)ΔABC(c-g-c)