chứng minh rằng \(n^5m-nm^5\)chia hết cho 30 với mọi số nguyên m,n
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
30 tháng 7 2018
Câu hỏi của I lay my love on you - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath dv
30 tháng 7 2018
\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)^{\left(1\right)}\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5\right]\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
=> n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
=> \(n^5-n⋮5\)(2)
Vì n , (n-1) , (n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên luôn tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 3 trong 3 số này
Mà ( 2 ; 3 ) = 1
=> n(n+1)(n-1) chia hết cho 2.3=6
=> n(n+1)(n-1)(n²+1 ) chia hết cho 6
Hay n^5 - n chia hết cho 6 (3)
Từ (2) , (3) và ( 5 ; 6 ) = 1
=> n^5 -n chia hết cho 5.6 = 30
Vậy n^5 - n chia hết cho 30
TM
5
BB
13 tháng 7 2017
Tạ Minh Khoa 
Ta có: n5 – n = n.(n4 – 1) = n.(n4 – n2 + n2 – 1)
= n.[(n4 – n2) + (n2 – 1)]
= n.[n2(n2 – 1) + (n2 – 1)]
= n.(n2 – 1).(n2 + 1)
= n.(n2 – n + n – 1)(n2 + 1)
= n.[(n2 – n) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.(n – 1).(n + 1).(n2 + 1)
Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n5 – n chia hết cho 3 (1)
Mặt khác: n5 = n4+1 có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n
=> n5 – n có chữ số tận cùng bằng 0.
=> n5 – n chia hết cho 10 (2)
Từ (1), (2) suy ra: n5 – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n5 – n chia hết cho 30 (đpcm).
13 tháng 7 2017
Tạ Minh Khoa
Ta có: n5 – n = n.(n4 – 1) = n.(n4 – n2 + n2 – 1)
= n.[(n4 – n2) + (n2 – 1)]
= n.[n2(n2 – 1) + (n2 – 1)]
= n.(n2 – 1).(n2 + 1)
= n.(n2 – n + n – 1)(n2 + 1)
= n.[(n2 – n) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.[n(n- 1) + (n – 1)].(n2 + 1)
= n.(n – 1).(n + 1).(n2 + 1)
Vì (n – 1); n; (n + 1) là ba số tự nhiên liên tiếp nên n5 – n chia hết cho 3 (1)
Mặt khác: n5 = n4+1 có chữ số tận cùng giống chữ số tận cùng của n
=> n5 – n có chữ số tận cùng bằng 0.
=> n5 – n chia hết cho 10 (2)
Từ (1), (2) suy ra: n5 – n chia hết cho 3 và 10, (3, 10) = 1 nên suy ra: n5 – n chia hết cho 30 (đpcm).
PM
1
26 tháng 10 2016
A=n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1) chia hết cho 6
nếu n=5k => A chia hết cho 5.6=30
nếu n=5k+1 => -1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 30
Nếu n=5k+2 => ^2+1=25k^2+20k+5 chia hết cho 5
=> A chia hết cho 10
nếu n=5k+3 =>^2+1=25k^2+30k+10 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Nếu n=5k+4 =>+1=5k+5 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Vậy với n nguyên dương thì n^5-n chia hết cho 30
=n(n^4-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1) chia hết cho 6
nếu n=5k => A chia hết cho 5.6=30
nếu n=5k+1 => -1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 30
Nếu n=5k+2 => ^2+1=25k^2+20k+5 chia hết cho 5
=> A chia hết cho 10
nếu n=5k+3 =>^2+1=25k^2+30k+10 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Nếu n=5k+4 =>+1=5k+5 chia hết cho 5
=>A chia hết cho 30
Vậy với n nguyên dương thì n^5-n chia hết cho 30
SK
1
PN
13 tháng 10 2017
Ta có: n^5 - n = n (n^4 -1 )
=n (n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2 - 4 +5)
=n(n-1)(n+1)(n^2-4) + n(n-1)(n+1)5
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5
Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30
và n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30
Nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30
hay n^5-n chia hết cho 30
17 tháng 12 2014
a,60 chia hết cho 15 => 60n chia hết cho 15 ; 45 chia hết cho 15 => 60n+45 chia hết cho 15 (theo tính chất 1)
60n chia hết cho 30 ; 45 không chia hết cho 30 => 60n+45 không chia hết cho 30 (theo tính chất 2)
b,Giả sử có số a thuộc N thoả mãn cả 2 điều kiện đã cho thì a=15k+6 (1) và a=9q+1.
Từ (1) suy ra a chia hết cho 3, từ (2) suy ra a không chia hết cho 3. Đó là điều vô lí. Vậy không có số tự nhiên nào thoả mãn đề.
c,1005 chia hết cho 15 => 1005a chia hết cho 15 (1)
2100 chia hết cho 15 => 2100b chia hết cho 15 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1005a+2100b chia hết cho 15 (theo tính chất 1)
d,Ta có : n^2+n+1=nx(n+1)+1
nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 suy ra nx(n+1)+1 là một số lẻ nên không chia hết cho 2.
nx(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên không có tận cùng là 4 hoặc 9 nên nx(n+1)+1 không có tận cùng là 0 hoặc 5, do đó nx(n+1)+1 không chia hết cho 5.
10 tháng 6 2015
Mình xin trả lời ngắn gọn hơn! a)60 chia hết cho 15=> 60n chia hết cho 15 15 chia hết cho 15 =>60n+15 chia hết cho 15. 60 chia hết cho 30=>60n chia hết cho 30 15 không chia hết cho 30 =>60n+15 không chia hết cho 30 b)Gọi số tự nhiên đó là A Giả sử A thỏa mãn cả hai điều kiện => A= 15.x+6 & = 9.y+1 Nếu A = 15x +6 => A chia hết cho 3 Nếu A = 9y+1 => A không chia hết cho 3 => vô lí.=> c) Vì 1005;2100 chia hết cho 15=> 1005a; 2100b chia hết cho 15. => 1500a+2100b chia hết cho 15. d) A chia hết cho 2;5 => A chia hết cho 10. => A là số chẵn( cụ thể hơn là A là số có c/s tận cùng =0.) Nếu n là số chẵn => A là số lẻ. (vì chẵn.chẵn+chẵn+lẻ=lẻ) Nếu n là số lẻ => A là số lẻ (vì lẻ.lẻ+lẻ+lẻ=lẻ) => A không chia hết cho 2;5
HN
1
2 tháng 11 2021
\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Do \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5 và \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5\forall n\in Z^+\)
\(\Rightarrow n^5-n⋮5\forall n\in Z^+\)
19 tháng 8 2019
BN thử vào câu hỏi tương tự xem có k?
Nếu có thì bn xem nhé!
Nếu k thì xin lỗi đã làm phiền bn
Hội con 🐄 chúc bạn học tốt!!!