Tìm GTNN của M = x2 + y2 - xy - x + y +1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LL
0
LQ
1
NN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 6 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+2^2\geq 4x$
$y^2+2^2\geq 4y$
$2(x^2+y^2)\geq 4xy$
$\Rightarrow 3(x^2+y^2)+8\geq 4(x+y+xy)=32$
$\Rightarrow x^2+y^2\geq 8$
Vậy $P_{\min}=8$ khi $x=y=2$
TM
1
HA
0
HA
0
1
rút gọn P=2/x-(x2/(x2-xy)+(x2-y2)/xy-y2/(y2-xy)):(x2-xy+y2)/(x-y)
r tìm gt P với |2x-1|=1 ; |y+1|=1/2
1
VM
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 6 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+y^2\geq 2\sqrt{x^2y^2}=2|xy|\geq 2xy$
$\Rightarrow 3(x^2+y^2)\geq 6xy$
$x^2+9\geq 2\sqrt{9x^2}=2|3x|\geq 6x$
$y^2+9\geq 2\sqrt{9y^2}=2|3y|\geq 6y$
Cộng theo vế các BĐT trên:
$4(x^2+y^2)+18\geq 6(xy+x+y)=90$
$\Rightarrow x^2+y^2=18$
Vậy $A_{\min}=18$ khi $(x,y)=(3,3)$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 6 2021
Sầu Riêng: của em nếu $x,y$ dương thì đúng. Còn trong bài $x,y$ thực thì đến đoạn $(x+y+2)^2\geq 64$ thì không khẳng định $x+y\geq 6$ được nha.
KR
7 tháng 5 2018
Áp dụng Bunyakovsky, ta có :
\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)
=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)
=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Mấy cái kia tương tự
\(M=x^2+y^2-xy-x+y+1\)
=> \(2M=2x^2+2y^2-2xy-2x+2y+2\)
\(2M=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2\)
\(2M=\left(x-y\right)^2+\left(1-x\right)^2+\left(y+1\right)^2\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\cdot\left[\left(x-y\right)^2+\left(1-x\right)^2+\left(y+1\right)^2\right]\ge\left(x-y+1-x+y+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\cdot2M\ge4\)
\(\Leftrightarrow2M\ge\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow M\ge\dfrac{2}{3}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(\dfrac{1}{x-y}=\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{1}{y+1}\)
<=> \(x-y=1-x=y+1\)
<=> \(x=\dfrac{1}{3};y=-\dfrac{1}{3}\)
Vậy \(Min_M=\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{3}\\y=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
2M=2x2+2y2-2xy-2x+2y+2
=(x2-2xy+y)+(x2-2x+1) +(y2+2y+1)
=(x-y)2+(x-1)2 +(y+1)2
=> 2M \(\ge0\forall x;y\)
=> M\(\ge0\)
=> Min M=0 khi x=1 và y=-1