cho x, y, z >0 và x + y+z = 4. C/m: \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\ge36\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 7 2018
Bài 2. Áp dụng BĐT Cauchy dưới dạng Engel , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}\) ≥ \(\dfrac{\left(1+4+9\right)^2}{x+y+z}=196\)
⇒ \(P_{MIN}=196."="\) ⇔ \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
9 tháng 12 2017
\(l=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}=\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{2^2}{y}+\dfrac{3^2}{z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{36}{1}=36\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2018
Bài 1:
Vì $x+y+z=1$ nên:
\(Q=\frac{x}{x+\sqrt{x(x+y+z)+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y(x+y+z)+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z(x+y+z)+xy}}\)
\(Q=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\sqrt{(x+y)(x+z)}=\sqrt{(x+y)(z+x)}\geq \sqrt{(\sqrt{xz}+\sqrt{xy})^2}=\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(Q\leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+ \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+ \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
Vậy $Q$ max bằng $1$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2018
Bài 2:
Vì $x+y+z=1$ nên:
\(\text{VT}=\frac{1-x^2}{x(x+y+z)+yz}+\frac{1-y^2}{y(x+y+z)+xz}+\frac{1-z^2}{z(x+y+z)+xy}\)
\(\text{VT}=\frac{(x+y+z)^2-x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+y+z)^2-y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{(x+y+z)^2-z^2}{(z+x)(z+y)}\)
\(\text{VT}=\frac{(y+z)[(x+y)+(x+z)]}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+z)[(y+z)+(y+x)]}{(y+z)(y+x)}+\frac{(x+y)[(z+x)+(z+y)]}{(z+x)(z+y)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\geq \frac{2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{(x+y)(x+z)}+\frac{2(x+z)\sqrt{(y+z)(y+x)}}{(y+z)(y+x)}+\frac{2(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}{(z+x)(z+y)}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 2\underbrace{\left(\frac{y+z}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{x+z}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{x+y}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\right)}_{M}\)
Tiếp tục AM-GM cho 3 số trong ngoặc lớn, suy ra \(M\geq 3\)
Do đó: \(\text{VT}\geq 2.3=6\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $3x=3y=3z=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 10 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+x+y+z)\geq (1+1+1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{2x+y+z}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{x+2y+z}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\geq \frac{16}{x+y+2z}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được:
\(\Rightarrow 4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\geq 16\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(\Rightarrow 16\geq 16\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1\)
Ta có đpcm.
14 tháng 10 2018
Ta có :
\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{16}{16\left(x+x+y+z\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+2y+z}=\dfrac{16}{16\left(x+y+y+z\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}=\dfrac{16}{16\left(x+y+z+z\right)}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Cộng từng vế của BĐT ta được :
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{4}{z}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=1\)
Vậy BĐT đã được chứng minh !
21 tháng 3 2022
từ đề bài ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(3+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{9}{4}\)
<=>\(\dfrac{3}{4}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
ta có \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{z}{x+y}+\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{x+z}\le\dfrac{3}{4}+\dfrac{z+y}{4x}+\dfrac{x+z}{4y}+\dfrac{x+y}{4z}=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(đpcm\right)\)Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=\(\dfrac{1}{3}\)
18 tháng 5 2018
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức Mincopxki và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(A=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\)
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(A\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}\)
\(A\ge\sqrt{4+\dfrac{81}{4}}=\sqrt{\dfrac{97}{4}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
18 tháng 5 2018
\(B=\sqrt{x^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2+\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(B=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}\right)^2}\)
\(B\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{162}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(B\ge\sqrt{4+\dfrac{162}{4}}=\sqrt{\dfrac{89}{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)
HN
4 tháng 5 2017
Ta có: \(\dfrac{16}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\left(2\right)\\\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z}\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{4}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{4.4}{16}=1\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
TA
6 tháng 11 2018
\(\dfrac{1}{2x+y+z}=\dfrac{1}{x+y+x+z}\le\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{x+z}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{4}.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Tuong tu : \(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)\)
=> \(VT\le\dfrac{1}{16}.\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)\)
= \(\dfrac{1}{16}.\left[4.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\right]=1\left(dpcm\right)\)
6 tháng 11 2018
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+2y+z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
\(\dfrac{1}{x+y+2z}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Cộng theo vế suy ra đpcm. \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+\dfrac{9}{z}=\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{2^2}{y}+\dfrac{3^2}{z}\)
\(\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}=\dfrac{36}{4}=9\)
Xảy ra khi \(x=\dfrac{2}{3};y=\dfrac{4}{3};z=2\)
xét dấu = thì thế nào bn Ace Legona