Question

[Đặng Minh Quân]

Giải và biện luận bất phương trình

\(\sqrt{2x^2+3}\)<\(x-a\)

Answer 1

[Trần Khánh Vân]

\(\sqrt{2x^2+3}\)  <   \(x-a\) (1)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x-a\ge0\\2x^2+3\ge0\\2x^2+3<\left(x-a\right)^2\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x\in\left(a;+\infty\right)\\f\left(x\right):=x^2+2ax+3-a^2<0\end{cases}\)  (a)

\(x\in\left(a;+\infty\right)\) := (*)

Hiển nhiên T(1) = T(a) \(\cap\) (*). Xét bất phương trình (a) có

\(\Delta=2a^2-3\) ; \(\frac{s}{2}-a=-2a\) và \(1.f\left(a\right)=2a^2+3>0\) với mọi a \(\in R\)

- Nếu \(\left|a\right|\le\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\Delta\le0\) suy ra (a) vô nghiệm nên (1) vô nghiệm

- Nếu \(\left|a\right|>\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\Delta>0\)  nên bất phương trình (a) có tập nghiệm

  T(a) = (\(x_1;x_2\)) với \(x_1=-a-\sqrt{2a^2-3}\); \(x_2=-a+\sqrt{2a^2-3}\)

- Nếu \(\left|a\right|>\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\frac{s}{2}-a>0\) nên ta có a<\(x_1\)\(\le\) \(x_2\)

Khi đó T(1) = T(a) \(\cap\) (*)=\(\varnothing\) hay (1) vô nghiệm

- Nếu \(\left|a\right|<\frac{\sqrt{6}}{2}\) thì \(\frac{s}{2}-a>0\) nên ta có a<\(x_1\)\(\le\) \(x_2\)

Khi đó T(1) = T(a) \(\cap\) (*)=T(a). Từ đó kết luận :

   + Với \(a\ge-\frac{\sqrt{6}}{2}\)  thì bất phương trình đã cho vô nghiệm

   + Với \(a<-\frac{\sqrt{6}}{2}\)  thì bất phương trình đã cho có nghiệm

\(-a-\sqrt{2a^2-3}\) <x<\(-a+\sqrt{2a^2-3}\)