Chứng minh rằng nếu :
\(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c⋮x^3+3x^2-9x-3\)
Thì a+b+c=0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh rằng: Nếu \(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c⋮x^3+3x^2-9x-3\) thì a+b+c=0
Giả sử \(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c:\left(x^3+3x^2-9x-3\right)\) được thương là \(x+d\)
Theo bài ra ta có
\(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c=\left(x^3+3x^2-9x-3\right)\left(x+d\right)\)
\(=x^4+3x^3-9x^2-3x+dx^3+3dx^2-9dx-3d\)
\(=x^4+x^3\left(3+d\right)+x^2\left(3d-9\right)+x\left(-3-9d\right)-3d\)
Áp dụng đồng nhất thức ta có
\(\left\{{}\begin{matrix}3+d=-4\\3d-9=5a\\-3-9d=-4b\\-3d=c\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}d=-7\\5a=-21-9=-30\\-4b=-3+63=60\\c=21\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}a=-6\\b=-15\\c=21\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\)
Chứng minh rằng: Nếu \(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c⋮x^3+3x^2-9x-3\)
chứng minh rằng nếu \(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c\) chia hết cho \(x^3+3x^2-9x-3\) thì a+b+c=0
Lời giải:
Đặt \(A=x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c\)
Biến đổi:
\(A=x(x^3+3x^2-9x-3)-7(x^3+3x^2-9x-3)+30x^2+5ax^2-60x-4bx+c-21\)
\(\Leftrightarrow A=(x-7)(x^3+3x^2-9x-3)+x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21\)
Thấy rằng bậc của \(x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21\) nhỏ hơn bậc của \(x^3+3x^2-9x-3\)
Do đó khi chia $A$ cho \(x^3+3x^2-9x-3\) thì số dư là \(x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21\)
Để phép chia hết thì số dư là $0$, tức là:
\(x^2(30+5a)-x(60+4b)+c-21=0\forall x\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 30+5a=0\\ 60+4b=0\\ c-21=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=-6\\ b=-15\\ c=21\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\) (đpcm)
CMR nếu
x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c chia hết cho x^3+3x^2-9x-3 thì a+b+c =0
ta có x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c
= ( x^3+3x^2-9x-3)( x+m)
= x^4+ ( m+3)x^3 + (3m-9)x^2 - ( 9m+3)x -3m
=> m+3 = -4 => m=-7
3m -9 =5a => a=-6
9m +3 = 4b => b=-15
-3m=c => c= 21
vậy a+b+c =0
CM nếu x4-4x3+5ax2-4bx+c chia hết cho đa thức x3+3x2-9x-3 thì a+b+c=0
CM nếu x4-4x3+5ax2-4bx+c chia hết cho đa thức x3+3x2-9x-3 thì a+b+c=0
x4-4x3+5ax2-4bx+c = x. (x3 + 3x2 - 9x - 3) - 3x3 + 9x2 + 3x - 4x3 + 5ax2 - 4bx + c
= x. (x3 + 3x2 - 9x - 3) - 7x3 + (5a + 9)x2 + (3 - 4b)x + c
= x. (x3 + 3x2 - 9x - 3) - 7 .(x3 + 3x2 - 9x - 3) + 21x2 - 63x - 21 + (5a + 9)x2 + (3 - 4b)x + c
= (x - 7)(x3 + 3x2 - 9x - 3) + (5a + 30)x2 + (-4b - 60) x + c - 21
=> Đa thức x4-4x3+5ax2-4bx+c chia cho (x3 + 3x2 - 9x - 3) được thương là x - 7 và dư (5a + 30)x2 + (-4b - 60) x + c - 21
Phép chia là phép chia hết nên dư = 0
=> (5a + 30)x2 + (-4b - 60) x + c - 21 = 0 với mọi x
=> 5a + 30 = -4b - 60 = c - 21 = 0
=> a = -6; b = -15; c = 21 => a +b + c = 0
CMR : Nếu (x2-4x3+5ax2-4bx+c) chia hết cho (x3+3x2-9x-3) thì a+b+c=0
CMR: nếu \(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c\) chia hết cho \(x^3+3x^2-9x-3\) thì tổng \(a+b+c=0\)
Bài 1: CMR \(\left(x^4-4x^3+5ax^2-4bx+c\right)\)chia hết cho \(\left(x^3+3x^2-9x-3\right)\)thì a+b+c=0
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}30+5a=0\\60+4b=0\\c-21=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a=-30\\4b=-60\\c=0+21\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-6\\b=-15\\c=21\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=\left(-6\right)+\left(-15\right)+21\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!