Question

[Vương 99]

Cho các số thực \(a;b;c\)dương thỏa mãn \(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}.\)Tìm GTNN của biểu thức \(Z=a+b+c\).

giúp tôi

Answer 1

[Daddy12]

Ta có \(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}\left(a,b,c>0\right)\)

\(\Leftrightarrow4a+4\sqrt{ab}+4\sqrt[3]{abc}=\frac{16}{3}.\)

\(\Leftrightarrow4a+2.2\sqrt{ab}+\sqrt[3]{64abc}=\frac{16}{3}.\)

\(\Leftrightarrow4a+2\sqrt{a.4b}+\sqrt[3]{a.4b.16c}=\frac{16}{3}.\)(1)

Áp dụng BDT Cauchy cho hai số dương \(a\)và \(4b\)ta được:\(2\sqrt{a.4b}\le a+4b\)(dấu bằng có \(\Leftrightarrow a=4b\))(2)

Áp dụng BDT Cauchy cho ba số dương \(a;4b\)và \(16c\)ta được:\(\sqrt[3]{a.4b.16c}\le\frac{1}{3}\left(a+4b+16c\right).\)(dấu bằng có \(\Leftrightarrow a=4b=16c\))(3)

Từ (1);(2) và (3) suy ra:

 \(\frac{16}{3}\le4a+a+4b+\frac{1}{3}\left(a+4b+16c\right).\)

\(\Leftrightarrow\frac{16}{3}\le5a+4b+\frac{1}{3}a+\frac{4}{3}b+\frac{16}{3}c.\)

\(\Leftrightarrow\frac{16}{3}\le\frac{16}{3}a+\frac{16}{3}b+\frac{16}{3}c.\)

\(\Leftrightarrow\frac{16}{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{16}{3}.\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge1\)

\(\Rightarrow MinZ=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}.\\a+b+c=1\\a=4b=16c\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{16}{21}\\b=\frac{4}{21}\\c=\frac{1}{21}\end{cases}}\)

Vậy GTNN của \(Z\)là 1 khi và chỉ khi \(a=\frac{16}{21};b=\frac{4}{21};c=\frac{1}{21}.\)

P/S:Trong quá trình làm dù đã rất cố gắng song khó tránh khỏi sai sót;mong bạn lượng thứ.

Answer 2

[Daddy12]

Đình chính:

\(MinZ=1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}\\a=4b=16c\\a+b+c=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{16}{21}\\b=\frac{4}{21}\\c=\frac{1}{21}\end{cases}}}\)