Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đây là đẳng thức ptôlêmê.
C/m: Lấy 1 điểm M thuộc AC sao cho gocABD=gocMBC. Do tứ giác ABCD nội tiếp nên ^ADC=^ACB. Từ 2 điều trên suy ra tam giác ABD ~ MBC(g.g). Suy ra AD/MC=BD/BC => AD.BC=BD.MC (1)
Từ cặp tam giác đồng dạng trên ta cũng có AB/BM = BD/BC => AB/BD = BM/BC mà ^ABM = ^DBC nên tam giác ABM ~ tam giác DBC.
=> AB.CD=AM.BD (2)
Cộng (1), (2) vế theo vế suy ra dpcm.
+Cm tứ giác BEDC nội tiếp:
-Xét tứ giác BEDC, ta có:
góc BEC= góc BDC
góc BEC và góc BDC cùng nhìn cạnh BC( cùng nhìn cạnh dưới một góc không đổi )
---> BEDC là tứ giác nội tiếp
+Cm góc EBC= góc ECD:
-Do tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp
mà góc EBD và góc ECD cùng nhìn cạnh ED
---> góc EBD= góc ECD(đpcm)
Chúc bạn học tốt nhé 
xét tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;r) ta có BD là đường cao(giả thiết)
=> góc BDC =90 độ
lại có CE là đường cao của tam giác ABC(giả thiết)=>góc CEB=90 độ
=>góc BDC+góc CEB=90+90=180 độ
mà 2 góc này ở vị trí đối nhau=> tứ giác BEDC nội tiếp
=> góc EBD=Góc ECD (cùng chắn cung ED)
a) Tứ giác AHIK nội tiếp
\(\widehat{AHI}+\widehat{AKI}=90^0+90^0=180^0\)
\(\Rightarrow\text{AHIK nội tiếp}\)
b) \(IA\times IC=IB\times ID\)
\(\text{Xét }\Delta IAB\text{ và }\Delta IDC\text{ có:}\)
\(\widehat{AIB}=\widehat{DIC}\left(\text{2 góc đối đỉnh}\right)\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{BC}\right)\)
\(\Rightarrow\Delta IAB\sim\Delta IDC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{IB}{IC}\)
\(\Rightarrow IA\times IC=IB\times ID\)
c) \(\Delta HKI\sim\Delta BDC\)
\(\widehat{H_2}=\widehat{A_2}\left(\text{AHIK nội tiếp}\right)\)
\(\widehat{A_2}=\widehat{B_2}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{CD}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{H_2}=\widehat{B_2}\) (1)
\(\widehat{K_1}=\widehat{A_1}\left(\text{AHIK nội tiếp}\right)\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{D_1}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{BC}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{K_1}=\widehat{D_1}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta HKI\sim\Delta BDC\left(g-g\right)\)
d) \(\dfrac{S_{HKI}}{S_{ABD}}\le\dfrac{HK^2}{4AI^2}\)
➤ \(\Delta HKI\sim\Delta BDC\Rightarrow\dfrac{S_{HKI}}{S_{BDC}}=\dfrac{HK^2}{BD^2}\Rightarrow S_{HKI}=\dfrac{HK^2\times S_{BDC}}{BD^2}\)
➤ \(\text{Đặt }T=\dfrac{S_{HKI}}{S_{ABD}}=\dfrac{HK^2\times S_{BDC}}{BD^2\times S_{ABC}}\)
Ta có: \(\dfrac{S_{BDC}}{S_{ABC}}=\dfrac{IC}{IA}\)
\(\Rightarrow T=\dfrac{HK^2\times IC}{BD^2\times IA}=\dfrac{HK^2\times IC}{\left(IB+ID\right)^2\times IA}\)
➤ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
\(\Rightarrow T\le\dfrac{HK^2\times IC}{4\times IB\times ID\times IA}=\dfrac{HK^2\times IC}{4\times IA\times IC\times IA}=\dfrac{HK^2}{4IA^2}\left(đpcm\right)\)