Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\)có nghiệm \(x_1;x_2\)thuộc [0;1]
Tìm max P=\(\frac{b^2-ab+a^2}{a\left(c+a\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 2 2021
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
y1+y2= 3x1+3x2=3(x1+x2)
=\(\dfrac{-3b}{a}\)
y1y2=\(\dfrac{9c}{a}\)
Ta có pt x^2 +\(\dfrac{3b}{a}x+\dfrac{9c}{a}=0\)
TP
26 tháng 8
- Hệ thức Viète:
\(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} , x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} .\)
Điều kiện:
\(0 \leq x_{1} , x_{2} \leq 1.\) - Biểu thức P:
Ta rút gọn:
\(P = \frac{\left(\right. a - b \left.\right) \left(\right. 2 a - c \left.\right)}{a \left(\right. a - b + c \left.\right)} .\)
Thay \(b = - a \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) , \textrm{ } c = a x_{1} x_{2}\):
\(P = \frac{\left(\right. a + a \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) \left.\right) \left(\right. 2 a - a x_{1} x_{2} \left.\right)}{a \left(\right. a + a \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + a x_{1} x_{2} \left.\right)} .\)
Rút gọn \(a\):
\(P = \frac{\left(\right. 1 + x_{1} + x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 - x_{1} x_{2} \left.\right)}{2 + x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}} .\) - Bài toán trở thành:
\(P \left(\right. x_{1} , x_{2} \left.\right) = \frac{\left(\right. 1 + x_{1} + x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 - x_{1} x_{2} \left.\right)}{2 + x_{1} + x_{2} + x_{1} x_{2}} , 0 \leq x_{1} , x_{2} \leq 1.\) - Xét giá trị biên:
- Nếu \(x_{1} = 0\):
\(P = \frac{\left(\right. 1 + x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 - 0 \left.\right)}{2 + x_{2} + 0} = \frac{2 \left(\right. 1 + x_{2} \left.\right)}{2 + x_{2}} .\)
Với \(x_{2} \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\): - \(x_{2} = 0 \Rightarrow P = 1\)
- \(x_{2} = 1 \Rightarrow P = \frac{4}{3} .\)
⇒ Trên cạnh này: \(1 \leq P \leq \frac{4}{3}\).
- Nếu \(x_{1} = 1\):
\(P = \frac{\left(\right. 2 + x_{2} \left.\right) \left(\right. 2 - x_{2} \left.\right)}{3 + x_{2}} .\)
Với \(x_{2} \in \left[\right. 0 , 1 \left]\right.\): - \(x_{2} = 0 \Rightarrow P = \frac{4}{3}\).
- \(x_{2} = 1 \Rightarrow P = \frac{3}{4} .\)
⇒ Trên cạnh này: \(\frac{3}{4} \leq P \leq \frac{4}{3} .\)
- Tương tự đối xứng cho các cạnh còn lại.
- Nếu \(x_{1} = 0\):
- Tại các đỉnh:
- \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right) : P = 1\).
- \(\left(\right. 1 , 0 \left.\right) : P = \frac{4}{3}\).
- \(\left(\right. 0 , 1 \left.\right) : P = \frac{4}{3}\).
- \(\left(\right. 1 , 1 \left.\right) : P = \frac{3}{4}\).
- Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là:
\(\boxed{\frac{3}{4}}\)
BF
17 tháng 3 2023
`a) 7x^2 - 2x + 3 = 0`
`(a = 7; b = -2; c = 3)`
`Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4.7.3 = -80 < 0`
`=>` phương trình vô nghiệm
`b) 6x^2 + x + 5 = 0`
`(a = 6;b = 1;c = 5)`
`Δ = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.6.5 = -119 < 0`
`=>` phương trình vô nghiệm
`c) 6x^2 + x - 5 = 0`
`(a = 6;b=1;c=-5)`
`Δ = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.6.(-5) = 121 > 0`
`=>` phương trình có 2 nghiệm phân biệt
`x_1 = (-b + sqrt{Δ})/(2a) = (-1+ sqrt{121})/(2.6) = (-1+11)/12 = 10/12 = 5/6`
`x_2 = (-b - sqrt{Δ})/(2a) = (-1- sqrt{121})/(2.6) = (-1-11)/12 = -12/12 = -1`
Vậy phương trình có 1 nghiệm `x_1 = 5/6; x_2 = -1`
9 tháng 11 2018
Áp dụng định lí viet: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
\(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2\right)=a\left[\left(x^2-x_1.x\right)-\left(x_2x-x_1x_2\right)\right]\)
=\(a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)
5 tháng 2 2022
a) Xét phương trình thứ nhất, có \(\Delta_1=b^2-4ac\)
Xét phương trình thứ hai, có \(\Delta_2=b^2-4ca=b^2-4ac\)
Từ đó ta có \(\Delta_1=\Delta_2\), do đó, khi phương trình (1) có nghiệm \(\left(\Delta_1\ge0\right)\)thì \(\Delta_2\ge0\)dẫn đến phương trình (2) cũng có nghiệm và ngược lại.
Vậy 2 phương trình đã cho cùng có nghiệm hoặc cùng vô nghiệm.
b) Vì \(x_1,x_2\)là 2 nghiệm của phương trình (1) nên theo định lý Vi-ét, ta có \(x_1x_2=\frac{c}{a}\)
Tương tự, ta có \(x_1'x_2'=\frac{a}{c}\)
Từ đó \(x_1x_2+x_1'x_2'=\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)
Nếu \(\hept{\begin{cases}a>0\\c>0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}a< 0\\c< 0\end{cases}}\)thì \(\hept{\begin{cases}\frac{c}{a}>0\\\frac{a}{c}>0\end{cases}}\), khi đó có thể áp dụng bất đẳ thức Cô-si cho 2 số dương \(\frac{c}{a}\)và \(\frac{a}{c}\):
\(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\sqrt{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}=2\), dẫn đến \(x_1x_2+x_1'x_2'\ge2\)
Nhưng nếu \(\hept{\begin{cases}a>0\\c< 0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}a< 0\\c>0\end{cases}}\)thì \(\hept{\begin{cases}\frac{c}{a}< 0\\\frac{a}{c}< 0\end{cases}}\),như vậy \(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}< 0< 2\)dẫn đến \(x_1x_2+x_1'x_2'< 2\)
Như vậy không phải trong mọi trường hợp thì \(x_1x_2+x_1'x_2'>2\)
TA
19 tháng 3 2023
Thay `b=5a+2c` vào `ax^2+bx+c=0`:
`ax^2+(5a+2c)x+c=0`
`=>Delta=(5a+2c)^2-4ac`
`=25a^2+20ac+4c^2-4ac`
`=25a^2+16ac+4c^2`
`=9a^2+(16a^2+16ac+4c^2)`
`=9a^2+(4a+2c)^2>=0`
`=>` ĐPCM
31 tháng 5 2017
Theo Vi et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{cases}}\)
Theo giả thuyết thì:
\(x_1^2+x_2^2=2x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}=0\)
\(\Leftrightarrow b^2-4ac=0\)
Vậy ta có ĐPCM
MC
7 tháng 7 2019
Mình chưa học cách chứng minh mệnh đề nhưng mk chứng minh được hệ thức Vi-et:
\(ax^2+bx+c=0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
để phương trình có 2 nghiệm thì \(\Delta\ge0\)
\(\Rightarrow b^2-4ac\ge0\)
phương trình có 2 nghiệm là
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Ta có
\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(=\frac{\left(-b+\sqrt{\Delta}\right).\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)}{2a.2a}\)
\(=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}\)
\(=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}\)
\(=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
17 tháng 6 2016
a) ax^2 + bx + c = 0
Để phương trình thỏa mãn điều kiện có 2 nghiệm dương phân biệt.
∆ > 0
=> b^2 - 4ac > 0
x1 + x2 = -b/a > 0
=> b và a trái dấu
x1.x2 = c/a > 0
=> c và a cùng dấu
Từ đó ta xét phương trình cx^2 + bx^2 + a = 0
∆ = b^2 - 4ac >0
x3 + x4 = -b/c, vì a và c cùng dấu mà b và a trái dấu nên b và c trái dấu , vì vậy -b/c >0
x3.x4 = a/c, vì a và c cùng dấu nên a/c > 0
=> phương trình cx^2 + cx + a có 2 nghiệm dương phân biệt x3 và x4
Vậy nếu phương trình ax^2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình cx^2 + bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dương phân biệt.
b) Ta có, vì x1, x2, x3, x4 không âm, dùng cô si.
x1 + x2 ≥ 2√( x1.x2 )
x3 + x4 ≥ 2√( x3x4 )
=> x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 2[ √( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ] (#)
Tiếp tục côsi cho 2 số không âm ta có
√( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ≥ 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] (##)
Theo a ta có
x1.x2 = c/a
x3.x4 = a/c
=> ( x1.x2 )( x3.x4 ) = 1
=> 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] = 2
Từ (#) và (##) ta có
x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4