Question

[maianh nguyễn]

Bài 1: Cho phương trình: acos2x + sinx = cosx.cotx tìm a để pt có 4 nghiệm thuộc khoảng (0; 2π)

Bài 2: Tìm m để pt cos3x - cos2x + mcosx - 1 = 0 có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng #Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 11

3

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1/ ĐKXĐ: \(sinx\ne0\)

\(\Leftrightarrow a.cos2x+sinx=\frac{cos^2x}{sinx}\)

\(\Leftrightarrow a.cos2x.sinx+sin^2x-cos^2x=0\)

\(\Leftrightarrow a.cos2x.sinx-cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow cos2x\left(a.sinx-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cos2x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\a.sinx-1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Do \(cos2x=0\) có 4 nghiệm trên khoảng đã cho nên để pt có đúng 4 nghiệm thì (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm \(sinx=0\)

Với \(a=0\Rightarrow-1=0\) pt vô nghiệm (thỏa mãn)

Với \(a\ne0\Rightarrow sinx=\frac{1}{a}\Rightarrow\) để pt vô nghiệm thì \(\left|\frac{1}{a}\right|>1\Rightarrow-1< a< 1\)

Vậy \(-1< a< 1\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

2/

\(\Leftrightarrow4cos^3x-3cosx-\left(2cos^2x-1\right)+m.cosx-1=0\)

\(\Leftrightarrow4cos^3x-3cosx-2cos^2x+m.cosx=0\)

\(\Leftrightarrow cosx\left(4cos^2x-2cosx+m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\\4cos^2x-2cosx+m-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Do \(cosx=0\) có 2 nghiệm thuộc \(\left(-\frac{\pi}{2};2\pi\right)\) , dựa vào đường tròn lượng giác ta thấy để pt có 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng đó thì (1) có 5 nghiệm sao cho \(-1< cosx_1< 0< cosx_2< 1\)

Đặt \(cosx=a\Rightarrow4a^2-2a+m-3=0\) (2)

Ta cần tìm m để (2) có 2 nghiệm thỏa mãn \(-1< a_1< 0< a_2< 1\)

Để (2) có 2 nghiệm trái dấu thì \(4\left(m-3\right)< 0\Rightarrow m< 3\)

Để (2) có 2 nghiệm thỏa mãn \(-1< a_1< a_2< 1\) thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)>0\\f\left(1\right)>0\\-1< \frac{S}{2}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-3\\m>1\\-1< \frac{1}{4}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)

Vậy \(1< m< 3\)