Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số $f\left(x\right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;1\right]$ thỏa mãn $f\left(1\right)=0,\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx=7$ và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}f\left(x\right)dx=\frac{1}{3}.$ Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng

A.  $\frac{7}{5}.$

B. 1

C.  $\frac{7}{4}.$

D. 4

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A.

Đặt u = f x d v = 3 x 2 d x ⇒ d u = f ' x d x v = x 3 ,  

khi đó ∫ 0 1 3 x 2 f x d x = x 3 f x 1 0 − ∫ 0 1 x 3 f ' x d x .

⇒ 1 = f 1 − ∫ 0 1 x 3 f ' x d x ⇒ ∫ 0 1 x 3 f ' x d x = − 1 ⇔ ∫ 0 1 14 x 3 f ' x d x = − 7.

Mà ∫ 0 1 49 x 6 d x = 7  

s u y   r a   ∫ 0 1 f ' x 2 d x + ∫ 0 1 7 ∫ 0 1 x 3 f ' x d x + ∫ 0 1 49 x 6 d x = 0 ⇔ ∫ 0 1 f ' x + 7 x 3 2 d x = 0.

Vậy 

f ' x + 7 x 3 = 0 ⇒ 0 ⇒ f x = − 7 4 x 4 + C