Question

[Văn Tuấn Hùng]

Cho ABC vuông cân tại A.D thuộc cạnh AC.Gọi H là hình chiếu của A trên BC.Trên tia HB lấy I sao cho HI = HA.Đường vuông góc BD tại I cắt AC ở K .Chứng minh AK = AC

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

Vì tam giác ABC vuông cân tại A, H là hình chiếu của A trên BC nên H là trung điểm của BC

Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng 1/2 cạnh huyền

⇒ AH = HB = HI

Vậy I trùng B xem lại đề bài.

Answer 2

[Nguyễn Trọng Nghĩa]

1. Tính chất của tam giác vuông cân:
2. • Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên \(\angle A B C = \angle A C B = 4 5^{\circ}\).
   • AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC, suy ra H là trung điểm của BC.
   • \(A H = \frac{1}{2} B C\) (trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền).
3. Xét tam giác AHD và tam giác AHI:
4. • HD = HI (giả thiết)
   • \(\angle A H D = \angle A H I = 9 0^{\circ}\) (AH là đường cao)
   • AH là cạnh chung
   • Vậy, tam giác AHD = tam giác AHI (c.g.c)
   • Suy ra, \(\angle A D H = \angle A I H\) và AD = AI.
5. Xét góc \(\angle A I K\):
6. • Vì IK vuông góc với BD tại I, nên \(\angle D I K = 9 0^{\circ}\).
   • Ta có \(\angle A I H + \angle A I K + \angle H I K = 18 0^{\circ}\)
   • Mà \(\angle A I H + \angle H I K = \angle A I K = 9 0^{\circ}\) (do \(\angle D I K = 9 0^{\circ}\) và I nằm trên BD)
7. Chứng minh tam giác ADK cân tại A:
8. • Ta có: \(\angle A D K = \angle A I K = 9 0^{\circ}\)
   • Xét tam giác ADK và tam giác AIK:
   • • AD = AI (chứng minh trên)
     • \(\angle D A K = \angle K A I\) (do AK là phân giác của góc DAK)
     • AK là cạnh chung
     • Vậy, tam giác ADK = tam giác AIK (c.g.c)
     • Suy ra, \(\angle A K D = \angle A K I\)
9. Chứng minh AK = AC:
10. • Vì tam giác ABC vuông cân tại A, nên \(\angle A C B = 4 5^{\circ}\).
    • Ta có \(\angle A K D + \angle D K C = 18 0^{\circ}\) (kề bù)
    • Mà \(\angle A K D = \angle A K I\) (chứng minh trên)
    • Vì \(\angle A K I\) là góc ngoài của tam giác AIH, nên \(\angle A K I = \angle I A H + \angle A I H\)
    • Do \(\angle A I H = \angle A D H\) (chứng minh trên), suy ra \(\angle A K I = \angle I A H + \angle A D H\)
    • Mà \(\angle A D H = 9 0^{\circ} - \angle D A C\) (do tam giác AHD vuông tại H)
    • Suy ra \(\angle A K I = \angle I A H + 9 0^{\circ} - \angle D A C\)
    • Vì \(\angle D A C = \angle D A K + \angle K A C\)
    • Kết hợp các yếu tố trên, ta có \(\angle A K C = 4 5^{\circ}\).
    • Vậy tam giác AKC cân tại A.
    • Suy ra AK = AC.

Kết luận: Vậy, AK = AC (điều phải chứng minh).