Question

[Phong]

Bài 2. Cho đường tròn (O; 8cm) và A là một điểm năm ngoài (O) sao cho OA = 20cm. Từ A vẽ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) với M,N là hai tiếp điểm. a) Chứng minh rằng AO vuông góc với MN b) Tính diện tích tam giác AMN c) MO cắt đường tròn tại điểm thứ hai là P. Chứng minh OA song song với PN.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

AM,AN là các tiếp tuyến

Do đó: AM=AN

=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)

Ta có: OM=ON

=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)

Từ (1),(2) suy ra AO là đường trung trực của MN

=>AO⊥MN tại H và H là trung điểm của MN

b: ΔOMA vuông tại M

=>\(MO^2+MA^2=OA^2\)

=>\(MA^2=20^2-8^2=400-64=336\)

=>\(MA=\sqrt{336}=4\sqrt{21}\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔMAO vuông tại M có MH là đường cao

nên \(MH\cdot OA=MO\cdot MA\)

=>\(MH\cdot20=8\cdot4\sqrt{21}=32\sqrt{21}\)

=>\(MH=\frac{32\sqrt{21}}{20}=\frac{16\sqrt{21}}{10}\) (cm)

H là trung điểm của MN

=>\(MN=2\cdot MH=2\cdot\frac{16\sqrt{21}}{10}=\frac{16\sqrt{21}}{5}\) (cm)

Xét ΔMAN có \(cosMAN=\frac{AM^2+AN^2-MN^2}{2\cdot AM\cdot AN}\)

\(=\frac{\left(4\sqrt{21}\right)^2+\left(4\sqrt{21}\right)^2-\left(\frac{16\sqrt{21}}{5}\right)^2}{2\cdot4\sqrt{21}\cdot4\sqrt{21}}=\frac{336+336-215.04}{2\cdot336}\)

\(=\frac{456.96}{672}=\frac{17}{25}\)

Ta có: \(cos^2MAN+\sin^2MAN=1\)

=>\(\sin^2MAN=1^2-\left(\frac{17}{25}\right)^2=\frac{336}{625}\)

=>\(\sin MAN=\frac{4\sqrt{21}}{25}\)

Diện tích tam giác MAN là:

\(S_{MAN}=\frac12\cdot AM\cdot AN\cdot\sin MAN\)

\(=\frac12\cdot4\sqrt{21}\cdot4\sqrt{21}\cdot\frac{4\sqrt{21}}{5}=\frac{672\sqrt{21}}{5}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

c: Xét (O) có

ΔMNP nội tiếp

MP là đường kính

Do đó: ΔMNP vuông tại N

=>NM⊥NP

mà NM⊥OA

nên OA//NP