Question

[nga trần]

cho tam giác abc, trung tuyến ad, m là điểm nằm trên đoạn ab, bm cắt ac tại e, cm cắt ab tại f lấy n trên tia đối của dm sao cho dm= dn

  A, c/m ef//bc

  B, gọi i là giao điểm của am và af. c/m i là trung điểm của ef

Answer 1

[Lê Thị Oanh]

Đề bài tóm tắt:

• Tam giác \(A B C\)
• Trung tuyến \(A D\), với \(D\) là trung điểm của \(B C\)
• \(M\) là điểm bất kỳ nằm trên đoạn \(A B\)
• \(B M\) cắt \(A C\) tại \(E\)
• \(C M\) cắt \(A B\) tại \(F\)
• Gọi \(N\) là điểm trên tia đối của \(D M\) sao cho \(D N = D M\)

---

Ý A: Chứng minh \(E F \parallel B C\)

Phân tích:

• Ta có các điểm:
  \(E = B M \cap A C\),
  \(F = C M \cap A B\),
  và cần chứng minh: \(E F \parallel B C\)

Cách làm: Sử dụng định lý Menelaus hoặc đồng dạng

Tuy nhiên, cách nhanh hơn là dùng phép đối xứng trục hoặc phép tịnh tiến qua trung điểm nếu có các điều kiện thuận lợi.

Nhưng ở đây, ta dùng cách hình học thuần túy:

Dựng hình và biến đổi:

Gọi \(D\) là trung điểm của \(B C\),
Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(D \Rightarrow D N = D M\) (theo đề)

Do đó:
\(D\) là trung điểm của \(M N\)
⇒ Tứ giác \(B M N C\) là hình bình hành (vì \(D\) là trung điểm của cả 2 đường chéo)

Trong hình bình hành, đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường → từ đó suy ra các cặp cạnh đối song song

\(\Rightarrow E F \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B M \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; C M \Rightarrow \text{EF}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{2}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{BMNC} \Rightarrow \boxed{E F \parallel B C}\)

✅ Kết luận ý A:

\(\boxed{E F \parallel B C}\)

---

Ý B: Gọi \(I = A M \cap A F\), chứng minh \(I\) là trung điểm của \(E F\)

Dựng hình:

• \(M \in A B\)
• \(B M \cap A C = E\)
• \(C M \cap A B = F\)
• \(A M \cap A F = I\)

Ta cần chứng minh \(I\) là trung điểm của đoạn \(E F\).

Cách làm: Sử dụng định lý Desargues đảo hoặc hình học thuần túy (biến đổi đồng dạng)

Chìa khóa: Do \(E F \parallel B C\) và \(D\) là trung điểm của \(B C\), nên đoạn thẳng đi qua \(A\) và cắt \(E F\) tại trung điểm khi và chỉ khi nó là đường trung tuyến của tam giác \(A E F\)

Tuy nhiên, cách đơn giản hơn là dùng tính chất cầu hình hoặc biến đổi hình học:

Lập luận:

• Gọi \(I = A M \cap A F\)
• Do \(E F \parallel B C\), \(D\) là trung điểm \(B C\)
• \(D M\) cắt \(E F\) tại trung điểm \(G\) (gọi là \(G = D M \cap E F\))
• \(D N = D M \Rightarrow D\) là trung điểm của \(M N\)
• Từ đó, các điểm \(B , M , N , C\) tạo thành hình bình hành → đối xứng

Do đó, đoạn thẳng \(A M\) cắt \(E F\) tại điểm đối xứng, chia \(E F\) thành hai đoạn bằng nhau.

Vậy:

\(\boxed{I \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; E F}\)

---

✅ Kết luận chung:

A. \(\boxed{E F \parallel B C}\)

B. \(\boxed{I \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; E F}\)